二階脈沖微分方程周期正解的存在性

張曉穎

(長春大學 理學院，長春 130022)

格林函數，則x(t)是脈沖微分方程(1)的解。

0 引言

本文論述下面具有脈沖的周期邊值問題的正解的存在性

假設J=［0，T］，0 ＜ t1＜ t2＜ … ＜ tp＜ T是給定的，Ik∈C(J，R)，其中表示x'(t)在t=tk的右極限 (左極限)。

假設f關于變量t是T-周期函數并且在上［0，T］×R滿足Cara the odory條件，也就是說(i)對每個x∈R，函數f(x)在［0，T］上是可測的;(ii)對幾乎所有的K?R，存在hk∈L1［0，T］使得對所有x∈K和幾乎處處的 t∈［0，T］，都有 |f(t，x)| ≤hk(t)成立。

文獻［1］對這種一階脈沖微分方程的的周期性邊值問題進行了研究。在本文中，我們將致力于研究二階脈沖微分方程的解的存在性問題。結合文獻［1，2］的理論，我們將［2］的結果進行了推廣。

1 主要結果

引理1:如果 a≤0，對幾乎所有的 t∈［0，T］，都有當(t，s)∈［0，T］×［0，T］時 G(t，s)＜ 0成立。

若a≥0，對于每一個t∈［0，T］，將用到下面最佳索伯列夫常數

引理2:假設a≥0對幾乎所有的t∈［0，T］以及1≤p≤∞，都有a∈Lp(0，T)成立。如果‖a‖p?K(2p)* ，則 G(t，s)?0 對所有的(t，s)∈［0，T］×［0，T］成立。

讓我們定義函數集合Λ-={a∈L1(0，T):a≤0}，對幾乎所有的t∈［0，T］成立。

Λ+={a∈L1(0，T):a≥0，對某些1≤p≤∞，有‖a‖p＜ K(2p)*}，對幾乎所有的t∈［0，T］。綜上，容易看到，如果 M=max0≤s，t≤TG(t，s)且 m=min0≤s，t≤TG(t，s)，則當 a ∈ Λ+時，M ＞ m ＞ 0。當 a ∈ Λ-時，m＜M＜0。

為了定義(1)的解，我們將考慮下面的空間 J'=J{t1，t2…，tn}，X=PC'(J，R)=

定義1:如果一個函數x∈PC'(J，R)∩C2(J'，R)是(1)的解，則它滿足微分方程x″+a(t)x=f(t，x)，并且在 J{tk}，k=1，2，…，p 上，對每個 k=1，2，…，p，函數 x(t)滿足條件

格林函數，則x(t)是脈沖微分方程(1)的解。

引理4:令X是巴拿赫空間，K是X中的錐.假設Ω1，Ω2是X中滿足0∈Ω1?Ω2的兩個開集。令Φ:K∩)→K是一個絕對連續的映射，滿足(i)對所有的x∈K∩?Ω1，有‖Φx‖≤‖x‖，(ii)存在Ψ∈K{0}使得當x∈K∩?Ω2且λ ＞0時，x≠Φx+λΨ.則Φ在K∩()上有一個不動點。

2 結語

現在，我們將考慮以下的周期邊值問題

其中f∈Car(［0，T］× R，R)滿足對所有的x∈R+和t∈［0，T］，有a(t)f(t，x)≥0 且 a(t)Ik(x)≥0，R+= ［0，∞)。

從第1節的研究，我們知道，如果a∈Λ+，則M ＞m ＞0，如果a∈Λ-則 m ＜M ＜0，其中m和 M是滿足x″+a(t)x=0周期邊值條件格林函數的最小值和最大值。本節中，我們將利用引理4研究系統(3)正解的存在性。

定理1:假設 a∈Λ+，f(t，x)≥0且Ik(x)≥0對所有和幾乎所有的R成立。則問題(3)有至少一個正解。如果下面兩個條件中的一個成立

可以證明K是PC［0，T］中的一個錐。

定義一個映射K如下:

明顯的，Φ:K→X是絕對連續。現在證明Φ(K)?K。

x(s))d s+∑pk=1IK(x(tK))］。

f(t，x)≥ (1- ε)fra(t)x，Ik(x)≥ (1- ε)Ir(k)x，k=1，2，…，p，故有Ψ∈K。現證明

若上式不成立，則存在x0∈K∩?Ωr，且λ0＞0使得x0=Φx0+λ0Ψ。

因為x0∈K∩?Ωr，則，則對所有 0 ≤ t≤ T，有

這表明μ＞μ+λ0，矛盾。因此 (4)成立。

因此有，‖Φx‖≤‖x‖。

［1］ X Y Zhang，X Y LI，D Q Jiang，K Wang.Multiplicity positive solutions to periodic problems for first-order impulsive differential equations［J］.Computers and Mathematics with Application，2006(52):953-966.

［2］ Pedro J，Torres.Existence of non-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem［J］.Journal of Differential Equations，2003(290):943-662.

［3］ Rachunkova，M Tvrdy.IVrkoc.Existence of nonnegative and nonpositive solutions for second order periodicboundary value problems［J］.Differential Equations，2001(176):445-469.

［4］ X Y Zhang，Q J Wen，Y，SXiao.Multiplicity Positive solutions to superlinear Repulsive Singular Second Order Impulsive Differential Equations［C］.Proceedings ICIS，2009(2):149-153.