導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

劉君澤

【摘 要】作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有廣泛重要的作用。本文借用典型例子以導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)，初步介紹其在邊際分析、彈性分析方面的應(yīng)用，詳細(xì)討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析問題中的最優(yōu)化應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；經(jīng)濟(jì)學(xué)；邊際分析

1.導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)（Derivative）是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點x 上產(chǎn)生一個增量Δx時，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x 處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x ）或df（x ）。

2.導(dǎo)數(shù)概念的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

f′（x ）實際上刻畫了函數(shù)y=f（x）在x0的變化率，當(dāng)自變量在x 處有一個單位的變化，則函數(shù)y=f（x）在f（x ）處有f′（x ）個單位的變化。

假設(shè)市場上某種商品的需求函數(shù)為d=d（P），其中P為商品的價格，d為市場上該商品的需求量。d′（P ）表示當(dāng)價格在P 處有一個單位的變化，則該商品的需求量將會有d′（P ）個單位的變化。同樣對于供給函數(shù)、總成本函數(shù)總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)等函數(shù)導(dǎo)數(shù)意義的理解，都可以仿照，這里就不一一展開說明了。下面以一例具體解釋其意義。

3.分析

邊際成本的定義是產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總成本。現(xiàn)假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量是連續(xù)變化的，于是單位產(chǎn)品可以無限細(xì)分。如果產(chǎn)量已經(jīng)是x在此水平上若產(chǎn)量從x增至x+x，那么總成本c（x）相應(yīng)的增量是△c=c（x+x）-c（x），它與△x的比為 = 。這表示在x和x+x之間總成本的平均變化率。若令，取極限就可以得到邊際成

本c′（x）= 。顯然，它近似地表示若已經(jīng)生產(chǎn)了x個單位產(chǎn)品，再增加一個單位產(chǎn)品總成本的增加量。同樣道理我們可以利用導(dǎo)數(shù)定義邊際收入、邊際利潤、邊際需求等。

4.導(dǎo)數(shù)在最值問題上的應(yīng)用

4.1最小平均成本問題

例：已知某個企業(yè)的成本函數(shù)C=q -9q +30q+25，其

中C-成本（單位：千元），q-產(chǎn)量（單位：噸）。求該企業(yè)生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品時所需費(fèi)用最少（即平均可變成本最小）？

解： 平均可變成本Y= =q -9q+30，解得Y′=2q-9。令Y'=0，得q=4.5噸。此時Y">0，所以q=4.5時，Y取得極小值，由于是唯一的極值，因此就是最小值，即Y =4.5 -9×4.5+30=9.75。因此，該企業(yè)產(chǎn)量為4.5噸時，所需費(fèi)用最少，即平均可變成本取得最小值9750元。

4.2最大利潤問題

企業(yè)生產(chǎn)的主要目的之一就是獲取利潤，而利潤函數(shù)L（x）=R（x）-c（x）被稱企業(yè)日標(biāo)函數(shù)。（R（x）為總收入函數(shù)、c（x）為總成本函數(shù)）。為了求出使利潤最大的產(chǎn)出水平，首先，必須滿足最大值的必要條件：一階導(dǎo)數(shù)L′（x）=0，求L′（x）=0，即R′（x）=c′（x）其次，還必須滿足最大值的充分條件：當(dāng)L′（x）=0時，L"（x）<0，即R"（x）

4.3最佳批量問題

在銷售管理中，有一個“最佳批量”的決策問題。一般而言，生產(chǎn)廠家或銷售公司要維持正常的生產(chǎn)和銷售，必須儲備一定的產(chǎn)品和商品，但庫存量一定要適度，庫存太多，會造成資金積壓或貨物過期；庫存太少，又會出現(xiàn)供不應(yīng)求，失去時機(jī)。因此管理者必須確定物資的庫存量，即何時補(bǔ)充庫存，應(yīng)該補(bǔ)充多少等。對于這個問題也可用導(dǎo)數(shù)加以解決。

假定企業(yè)全年存貨需求量為D，經(jīng)濟(jì)訂購費(fèi)用為Q，每次采購費(fèi)用為P，每單位存貨維持一年的費(fèi)用為k。由此可得采購次數(shù)為D/Q，平均存貨量為Q/2，一年所需的總費(fèi)用為：F（Q）= ·p+ ·k=0，我們按求量值的條件：（1）F′（Q）= ·p+ ·k=0，于是Q= ，（2）當(dāng)F"（Q）>0時費(fèi)用最小，即F"（A）= ·p>0，而F"（Q ）>0，則最佳經(jīng)濟(jì)定購量為Q = 。

結(jié)語

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛，本文只是略舉一二，如果能夠?qū)?shù)學(xué)作為分析工具應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)問題中去，不但可以提供準(zhǔn)確的數(shù)字作為參考，同時也能給企業(yè)提供更多的思路和見解，這也是數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科的實際應(yīng)用的具體體現(xiàn)。