基于中心線一側打點數量異常判斷選取準則

聞學穎，孫 維，孟憲濤，劉 暢

（1.大連海洋大學職業技術學院，遼寧大連 116300；2.沈陽師范大學數學與系統科學學院，沈陽 110034；

3.沈陽市廣全中學數學教研組，沈陽 110141）

基于中心線一側打點數量異常判斷選取準則

聞學穎1，孫 維1，孟憲濤2，劉 暢3

（1.大連海洋大學職業技術學院，遼寧大連 116300；2.沈陽師范大學數學與系統科學學院，沈陽 110034；

3.沈陽市廣全中學數學教研組，沈陽 110141）

介紹了控制圖的概念和3σ原理以及與控制圖共生的2類錯誤，一是以真為假的第一類錯誤，一是以假為真的第二類錯誤。指出了控制圖與假設檢驗一樣，遵循“小概率事件不容易發生”這一統計基本原理。論述了控制圖選用的顯著性水平一般要比假設檢驗所選取的顯著性水平小很多的原因。利用控制圖中的落在控制限內中心線一側打點數量這一視角，研究了位于控制限內n個樣本打點中有k個落在中心線一側相應質量系統異常判斷準則的構建問題。分析出這k個點符合二項分布，給出了位于控制限內n個打點中至少有k個打點落在中心線一側的概率計算公式。最后得到當n≤19各種樣本情況的質量系統異常判斷準則。

質量管理；控制圖；異常判斷

0 引 言

質量的時代需要科學的質量學說，20世紀20年代美國工程師休哈特應用統計科學方法創立了控制圖，此舉具有劃時代意義，它標志著質量管理已在質量檢驗階段的基礎上進入到統計質量控制階段，從此質量管理學作為一門科學在企業生產經營的質量控制過程中發揮著越來越大的作用［1］。質量控制階段以后，質量管理又先后經歷了全面質量管理階段和6σ管理階段。值得一提的是，雖然目前質量管理已經出現了6σ管理方法，但以控制圖為代表的質量控制階段的許多管理方法目前仍具有很強的生命力。

1 控制圖簡介

所謂控制圖，實際上就是圖上作業的假設檢驗，它對于質量過程的控制管理是十分有效的。

1.1 控制圖的3σ原理

若以X表示生產過程中的質量特性，并設X～N（μ，σ2），于是就有

這里α0＝0.0027，稱為顯著性水平。現在以坐標系中的橫軸表示樣本序號，縱軸表示樣本值，分別以X＝μ±3σ表示上下控制限，以X＝μ為中心線。將樣本以打點形式依次描在坐標系中，便得到相應的控制圖如圖1所示。

生產過程存在的價值在于它的質量始終處在可控的穩定狀態，即X～N（μ，σ2）在過程中始終成立。此時Χ只受到隨機因素的作用，而沒有系統因素的影響。即對于一個樣本打點，其落在控制限以內的概率為0.9973，據此休哈特在創立控制圖初期就把“一個樣本打點出界即判異常”確定為系統的判異準則。

1.2 控制圖的兩類錯誤

依據該判異準則，對一個打點出界即判為異常，則在邏輯上存在著誤判的風險。即當X～N（μ，σ2）沒有變化時，由于隨機因素的影響，使得打點也可能出界。此時若按該準則判為異常，就是一種誤判，其概率為0.0027。這種誤判是以真為假的誤判，在數理統計上稱為第一類錯誤。我們當然可以減小顯著性水平使出現以真為假的誤判概率降低。但這卻增大了所謂以假為真誤判的發生概率。對于后一種誤判稱為第二類錯誤。椐經驗，按3σ原理構造的控制圖，相應的兩類錯誤造成的總損失最小，即α0＝0.0027是適宜的。

1.3 控制圖的顯著性水平

雖然控制圖與假設檢驗的原理相同，但它們二者所選用的顯著性水平的差異卻是很大。假設檢驗選用的顯著水平通常是控制圖的幾倍甚至幾十倍。依據休哈特的“一點出界即判為異常”的判異準則，則發生誤判的機會增加了。為此，通常把顯著性水平取的相對小一些，盡管使犯第一類錯誤的概率大為降低，卻導致犯第二類錯誤的機會增加，常常會出現魚目混珠、漏發警報的現象。為此需要利用已建立的質量系統穩定或異常判斷準則對控制圖中打點的分布狀況進行甄別［2］，以便對質量過程的穩定與異常做出正確的判斷。理論上說，樣本的打點在控制圖中的分布形式是多樣的，判斷系統異常的準則必定也是各異的。現在從落在控制限內中心線一側打點數量這一視角去探求質量過程異常的判斷準則。

2 過程異常判斷準則的確立

圖1 控制圖示例

設X～N（μ，σ2），則一個樣本打點落在控制限內中心線一側的概率為0.9973／2。現有n個樣本點，其中有k個落在控制限內中心線一側，易知k服從二項分布K～B（n，0.9973／2）。若記P（n，k）＝P（n個打點中有k個落在中心線一側），則有

如果限定n個樣本點是落在控制限內，那么嚴格地說其中落在中心線一側的樣本點個數k就不再服從以n，0.9973／2為參數的二項分布。但在質量特性X的分布無異常的情況下，一點落在控制限以外只是個小概率事件，故此可認為k近似地服從以n，0.9973／2為參數的二項分布。于是有P（控制限內n個打點中有k個落在中心線一側）＝P（n，k）＝2（0.9973／2）n。

下面以Pn（k）表示事件“位于控制限內n個打點中至少有k個落在中心線一側”的概率，即

對一固定的n，當時適宜用式（2）計算Pn（k）；而當時，則適宜于利用式（3）求Pn（k）.此外易知Pn（k）為k的減函數，且其最小值為

由于控制圖的顯著性水平為α0＝0.0027，為此有方程0.49865n＝0.00135，解之，得n＝9.4958.取整為n＝9.

有一點須特別注意，在以下確定判異準則時，要充分考慮到相應的顯著性水平必須與α0協調一致，既不能太大，也不能太小，一般應與α0處在同一數量級。若對某事件求得其概率為與α0屬于同一數量級的數值，則該事件為一個小概率事件，依據統計原理，小概率事件是不容易發生的。而今樣本打點結果表明該小概率事件發生了，說明質量特性已經出現了異常。此即為選擇判異準則的思想方法。現在考慮從n＝9開始取值，探討確立判異準則。

2.1 取n＝9時，有9個樣本打點落在控制限內

由式（1）可得

由于0.0343與α0比較顯得過大，0.0038與0.0027為同一數量級的數值，故可得判異準則1。

準則1若連續9個樣本打點全都落在控制限內中心線一側，則質量過程為異常。

當n＝10時，有10個樣本打點落在控制限內，由式（1）計算可得

顯然P（10，9）與α0＝0.0027比較顯得過大，P（10，10）與α0屬同一數量級，為此可把10點均落在中心線一側選為判異準則。但10點落在中心線一側必滿足9點落在中心線一側，故此可由準則1加以判斷。

當n＝11，n＝12時，與n＝10時的情形相同，不能確立相應的判異準則。

2.2 當n＝13時，有13個樣本打點落在控制限內

據式（1）得

由于P（13，13）偏小，而0.0031與α0＝0.0027屬同一數量級，故可取為顯著性水平。于是可確定判異準則2。

準則2位于控制限內的13個樣本打點中12個落在控制限內中心線一側，則質量過程為異常。

2.3 當n＝14時，有14個樣本打點落在控制限內

利用式（2）計算可得

0.0018與0.0027比較接近，因此可取為顯著性水平。于是得到過程異常判斷準則3。

準則3位于控制限內的14個樣本打點中至少有13個落在中心線一側，則過程判為異常。

當n＝15時，有15個樣本打點落在控制限內，利用式（2）可得

由于0.0071為α0＝0.0027的2.6倍，偏大一些，不適宜作為顯著性水平。因此，對15個樣本打點落在控制限內的情況，不能夠確立相應的判異準則。

以此類推，可得到n＝16時的準則4、n＝17時的準則5和n＝19時的準則6。

準則4位于控制限內的16個樣本打點中至少有14個落在中心線一側，則過程判為異常。

準則5位于控制限內的17個樣本打點中至少有15個落在中心線一側，則過程判為異常。

準則6位于控制限內的19個樣本打點中至少有16個落在中心線一側，則過程判為異常。

當n＝18時，有P18（16）＝0.0012，P18（15）＝0.0072，這兩概率與α0＝0.0027比較，0.0012偏小，0.0072又偏大，都不適合作為顯著性水平。由此可知，對于18個落在控制限內的樣本打點情況，不可能確立相應的判異準則。

3 結 語

1）若令n分別取20，21，22，…，加大樣本的容量，一般情況下還可以得到新的判異準則；

2）筆者是基于落在控制限內中心線一側樣本打點個數去選擇質量過程判異準則的，由于樣本點分布的多樣性，對于其他形式的打點分布情況（如單調、鏈以及靠近控制限分布等），同樣可確立相應的判異準則；

3）所謂質量過程異常，是指樣本打點分布不是完全隨機的。因此不應該只理解為異常不好，事實上還應該包括異常好的情況。異常好的情況有悖于樣本打點隨機分布的常理，故也是不正常的。

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Selection of abnormal judgment rules based on plotting numbers from central line side

WEN Xueying1，SUN Wei1，MENG Xiantao2，LIU Chang3

（1.Vocational and Technical College，Dalian Ocean University，Dalian 116300，China；
2.School of Mathmatics and System Science，Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China；3.Math Department，Shenyang Guangquan Middle School，Shenyang 110141，China）

This paper introduces the concept of control chart，three principle and two types of errors from the symbiosis with control charts.The one is really false error of the first kind，the other is false is true of the second types of errors.This paper points out that control charts are the same as the hypothesis testing by following the basic statistics principle that the little probability is not prone to happen.Meanwhile，the reason why the significance level by control charts is much smaller compared to the hypothesis testing has been explained.The research has been done aiming at constructing abnormal judgment criteria of the corresponding quality system whenknumbers ofnsample plotting numbers from the control limit are in the central line along with the probability formula in this situation.This paper analysis that the K points accord with the two distribution and gives the probability calculation formula whenknumbers ofnsample plotting numbers from the control limit are in the central line.Eventually，the alarm rules of the quality system have been concluded in the case ofn19.

quality management；control charts；abnormal judgment

O212

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.024

1673-5862（2013）02-0242-04

2012-09-19。

國家自然科學基金資助項目（10471096）。

聞學穎（1974-），女，遼寧大連人，大連海洋大學助理研究員。