拋物線兩條切線的統一解法

開口向上（或者向下）的拋物線可以看成是二次函數，所以可以利用導數這個工具求出其切線方程。有好多題目甚至要求二條切線，下面把這類問題的解法歸類一下。

定理：設A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線x2=2py（p≠0）上的不同兩點，過A、B分別作拋物線的切線l1，l2，則l1，l2相交于點P，且點P的坐標為

，

。

證明如下：∵y=， ∴y=

l1：y-y1=（x-x1），l2：y-y2=（x-x2）作差，得

y2-y1=（x-x1）-（x-x2）即-=（x-x1）-（x-x2）

得x=，代入l1就可以得。

由于這個交點是固定的，又類同于韋達定理，所以稱P為拋物線的兩切線的韋達交點。

這類問題的解法是統一的，應該先求出韋達交點。下面就應用方面簡單作幾點說明。

一、與韋達定理有關的

拋物線的兩切線的韋達交點從形式上看，與韋達定理有密切聯系，所以結合韋達定理使用，不僅豐富了韋達定理的應用，同時，也加強了學生對韋達定理的理解，對學習解析幾何是有很大幫助的。

1.已知拋物線x2=2py（p>0），過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在A，B兩點處的切線相交于點Q求證點Q在定直線上。

分析：過焦點F0，

的動直線l交拋物線于A，B兩點，∴設直線l的方程為y=kx+

聯立y=kx+

x2=2py可得x2-2pkx-p2=0.設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=2pk，x1x2=-p2.

拋物線在A，B兩點處的切線相交于點Q，聯立l1：y-y1=（x-x1），l2：y-y2=（x-x2）

得點Q的坐標為

，

，yQ==-。所以，點Q在定直線=-上。

2.如圖，與拋物線C1：y=x2相切于點的直線l與拋物線C2：y=-x2相交于A，B兩點.拋物線C2在A，B處的切線相交于點Q.

（Ⅰ）求證：點Q在拋物線C1上；

（Ⅱ）若∠QAB是直角，求實數a的值.

分析：（1）設直線l的方程為：y-a2=2ax-a2；

又y=2ax-a2+

x2=-y得x2+2ax-a2=0點A（x1y1）、B（x2y2），點Q為拋物線的兩切線的韋達交點，所以點Q的坐標為

，

=（-a，a2），顯然在拋物線C1上。

（2）KQA·2a=-1，·2a=-1，再結合韋達定理x1+x2=-2a，x1x2=-a2利用方程思想求出a。

二、與幾何位置有關的

經過以上例題的分析，拋物線的兩切線的韋達交點從位置上看有以下性質：

（1）拋物線的兩切線的韋達交點在定直線上時，與之對應的直線必過對稱的定點。

3.過點M（2，-2p）作拋物線x2=2py（p>0）的兩條切線，切點分別為A、B，若線段AB中點的縱坐標為6，求拋物線的方程。

分析：由于韋達交點M（2，-2p）在直線上，所以易證直線AB過定點（0，2p）

所以設直線的方程為：y=kx+2p，聯立y=kx+2p

x2=2py得x2-2pkx-4p2=0設A（x1，y1）、B（x2，y2）所以x1+x2=2pk，x1x2=-4p2；又由于韋達交點M（2，-2p）=

，

=（pk，-2p）所以pk=2

y1+y2====12∴p2-3p+2=0

∴p=1或p=2

∴所求拋物線的方程為x2=2y或x2=4y

（2）拋物線的兩切線的韋達交點為

，

，與之對應的直線AB的中點為

，

，故這兩點的連線與拋物線的對稱軸平行。

拋物線的兩切線的韋達交點的性質的挖掘，如果運用得好，能使我們很快找到問題的答案，同時，使學生對學習數學產生興趣，提供了思考問題的方法。比如拋物線的兩切線的韋達交點的性質只在開口向上下的拋物線適用，能否類比到開口向左右的拋物線呢？

（作者單位：浙江省寧波市鄞州五鄉中學數學組）