數學的現實情境一定有效嗎

【案例背景】

義務教育階段的數學教學中，歷來有一些核心內容像是課程改革的“晴雨表”——不同時期對這些課程的教與學，反映了我們對數學和數學教育的不同認識“有理數的乘法”就是這樣一節課，曾經有人說，能夠將“負負得正”講清楚的老師一定是一位出色的數學老師。

“（-1）×（-1）=1”就這么難講嗎？許多專家發表過不同的見解，不同版本的教材也采取了不同的處理方式，共同的希望是使有理數乘法的教學更有邏輯意義和現實意義。不過，這種愿望在教學實踐中似乎并不像預想的那么順利。

【案例描述】

投課教師教學時采用了下面的問題情境。

首先呈現四個問題：將一只小蟲現在的位置標記為原點，請根據前后幾秒小蟲的位置變化情況回答：

（1）若小蟲每秒向右移動3cm，則4秒后在什么位置？ （2）若小蟲每秒向左移動3cm，則4秒后在什么位置？（3）若小蟲每秒向右移動3cm，則4秒前在什么位置？（4）若小蟲每秒向左移動3cm，則4秒前在什么位置？

然后規定向右為正、向左為負；現在之后為正、之前為負，并讓學生用有理數表示每組問題中的數量，再用運算符號連接起來，就會獲得如下4個算式：

1.（+3）×（+4）=+12； 2.（-3）×（+4）=-12；

3.（+3）×（-4）=-12； 4.（-3）×（-4）=+12。

進一步通過觀察概括出有理數乘法的法則。之后是鞏固練習。

這位教師講完后，大家普遍認為其結構嚴謹、設計合理，注重了數學知識產生的現實意義。但這些贊許卻被課后一位學生的追問打斷了，學生問：“如果我們規定向右為正、向左為負；但同時規定現在之后為負、之前為正，那么小蟲每秒向左移動3cm，則4秒后的位置不就可以用算式（-3）×（-4）=-12表示了。”是啊，方向與時間的正負本來就是一種規定，更關鍵的是這兩組量是互不干涉的——也就是它們的正負表示是相對獨立的，一組量的規定方式并不能影響另一組量。可見，學生說的非但無稽之談，甚至無懈可擊！

【案例反思】

通過前面的探討不難看出，“有理數的乘法法則”并非現實問題的客觀描述一一這就是說，我們不能依賴現實背景徹底解釋法則的合理性，除非強加上我們的主觀規定。那么這個法則到底是怎樣來的呢？我們不妨看看美國杰出的數學家R·柯朗（Richard Courant，1888—1972）在其名著《what Is Mathematics》中的論述：“引進有理數，除了有其‘實際’原因外，還有一個更內在的，從某些方面來看甚至是更為迫切的理由……在通常的自然數的算術中，我們總能進行兩個基本運算：加法和乘法。但是逆運算減法和除法并不總是可行的。引入負數保證了減法能在正整數和負整數范圍內無限制地進行。當然我們必須定義它們的運算，使得算術運算原有的規律保持不變。例如，我們對負數乘法規定（-1）×（-1）=l。

這是我們希望保持分配律。a（b+c）=ab+ac的結果。因為如果我們讓（-1）×（-1）=-1，令a=-1，b=l，c=-1，就會有（-1）×（l-1）=-1-1=-2，可另一方面我們實際上有（-1）×（l-1）=（-1）×0=0

對數學家來說，經過了很長的一段時間才認識到這個符號規則以及負數、分數所服從的其他運算法則是不能加以證明的。它們是我們創造出來的，為的是在保持算術基本規律的條件下是運算能夠自如。

由此可見，有理數乘法的法則本質上是一種規定。當然，這種規定我們之所以感覺是合理的，是因為它沒有違背原有的正數乘法的基本規則，相關的運算律也能得到實施。所以，有理數乘法法則的確定，更多地是關注了數學自身的繼承和發展，使之達到“向下兼容”的效果，很好地體現了數學體系發展所必需的“自治性”

從數學發展的歷史上看，數學家普遍接受一種\"新\"數，主要依賴于算法的合理性。而作為算法系統，總是把算法的無矛盾性放在首位的，這是數學推廣過程中的一個一般性的原則。正如偉大的數學史家M-克萊因（Morris Kline，1908—1992）指出的“通過這些記號，代數中極其有用的一部分便建立起來了。它依賴于一件必須用經驗來檢驗的事實，即代數的一般規則可以應用于這些式子，而不會導致任何錯誤的結果”

當然，在初等數學的學習階段，我們努力將數學上“冰冷”的規定轉化為學生“火熱”的思考，實現從學術形態的數學向教育形態的數學轉變，是數學教育的一個重要方式。那么，如何才能使有理數乘法的教學既具有現實意義，又具有邏輯意義，還能兼顧其合理性與自治性呢？針對前面教師的設計，我想，在我們利用現實情境獲得法則后，可以提出如下的問題“這樣規定有理數乘法法則，對原來的正數乘法有影響嗎？運算律還能使用嗎？”這樣的問題，讓學生對法則的自治性有適當的認識。

我們怎樣認識數學教學的問題，首先是我們怎樣認識數學的問題，只有正確把握數學知識的本質，恰當選擇有效的教學形式，才能把發展學生思維、提高學生能力真正落到實處。

（作者單位：江蘇省徐州市睢寧高集中學）