光子自由程與宇宙環(huán)境的推測

摘 要：光子在空間中傳播會(huì)受到物質(zhì)微粒的影響。考慮光子受物質(zhì)微粒干擾的因素，在計(jì)算其經(jīng)過一段位移所用的時(shí)間時(shí)就不能簡單的按照勻速直線運(yùn)動(dòng)處理。自由程則可反應(yīng)光子運(yùn)動(dòng)時(shí)受干擾程度，從而計(jì)算出光子通過一定位移所用的準(zhǔn)確時(shí)間。在本篇文章中，我會(huì)根據(jù)宇宙中平均電子密度與自由程的概念來詳細(xì)的推導(dǎo)出在宇宙中光子自由程與宇宙標(biāo)度因子的關(guān)系式。并且，在假定宇宙大爆炸理論正確的前提下，我會(huì)將宇宙不同階段的已知數(shù)據(jù)帶入推導(dǎo)出的公式，對(duì)早期宇宙、現(xiàn)階段宇宙做出一些數(shù)據(jù)推測，其中包括自由程、光子從其中心出發(fā)至其邊緣所用時(shí)間等。之后將二者的數(shù)據(jù)與太陽數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，從而得到一些關(guān)于宇宙發(fā)展的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：自由程 宇宙標(biāo)度因子 宇宙大爆炸理論

中圖分類號(hào)：P11 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2013）01（a）-00-02

在太陽中，日光由其核心反應(yīng)區(qū)經(jīng)過輻射層、對(duì)流層、光球?qū)印⑸驅(qū)雍髠魉偷教柋砻嫘枰荛L的時(shí)間，原因是光子在從它內(nèi)部向表面?zhèn)鬏數(shù)倪^程中，會(huì)與太陽中的電子等其他粒子發(fā)生碰撞，并且發(fā)生散射。這導(dǎo)致了光子要經(jīng)歷很久的時(shí)間才能夠從太陽內(nèi)部“逃離而出”。

這樣，我們就要應(yīng)用到自由程這樣一個(gè)概念。自由程是反應(yīng)光子運(yùn)動(dòng)中受干擾程度的物理量，其含義是：光子在相鄰兩次與物質(zhì)微粒發(fā)生散射之間不受干擾做直線運(yùn)動(dòng)所通過的距離。根據(jù)自由程，我們可以計(jì)算出光子通過一段距離的準(zhǔn)確用時(shí)（詳細(xì)見附錄）[2]。

在宇宙中，光子的傳播同樣會(huì)受到電子等物質(zhì)微粒影響，發(fā)生散射。在費(fèi)里德曼宇宙模型之中，我們假設(shè)宇宙中的能量（物質(zhì)）是守恒的，于是我們可以將光子“逃離”太陽的情況類比到宇宙中，并且推導(dǎo)出光子運(yùn)動(dòng)受干擾程度關(guān)于宇宙標(biāo)度因子（宇宙年齡）的函數(shù)關(guān)系，對(duì)宇宙的過去與未來做更好的推測與預(yù)言。

1 關(guān)于推導(dǎo)自由程與宇宙標(biāo)度因子關(guān)系的準(zhǔn)確性討論

1.1 物質(zhì)主導(dǎo)宇宙

我們根據(jù)搜索到的材料[4-5]，將宇宙看做物質(zhì)主導(dǎo)。在宇宙大爆炸之后的30萬年內(nèi)，物質(zhì)高度電離，光子難于傳播。由于此時(shí)的標(biāo)度因子比較小，這一段時(shí)間可以看做是輻射為主導(dǎo)，其對(duì)光子運(yùn)動(dòng)的影響與物質(zhì)微粒不同。宇宙大爆炸30萬年之后，冷卻的宇宙物質(zhì)足以使電子與核子結(jié)合在一起形成中性原子，這一階段被稱為“重組”，同時(shí)吸引了自由電子，從而導(dǎo)致宇宙變得透明。而從爆炸后30萬年到現(xiàn)在大概有137億年，這段時(shí)間可看做物質(zhì)主導(dǎo)。光子在物質(zhì)階段運(yùn)動(dòng)受到的干擾主要來源于與電子發(fā)射散射。

1.2 光電散射

在宇宙中，光子運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的主要阻礙來自于電子。這是由于電子與光子的散射截面最大，而質(zhì)子、中子等微粒與電子的散射截面相對(duì)小得多（散射截面的概念會(huì)在下文中詳細(xì)介紹）。我們可以理解為光子與電子發(fā)生碰撞時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡與速度的改變量遠(yuǎn)大于與其他粒子碰撞時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡與速度的改變量。所以，這里我們暫不考慮。

1.3 三維空間

由于計(jì)算當(dāng)中用到了弗里德曼方程[3]，而弗里德曼方程的環(huán)境是三維空間，所以我們的研究也是以三維空間為基礎(chǔ)的。

1.4 忽略引力

在本次研究中并沒有考慮黑洞等物資密度極大的天體對(duì)光的吸引作用。在早期宇宙中物資密度相對(duì)均有引力作用較為平均，現(xiàn)階段宇宙中光子遇到上述情況的概率又相對(duì)較少。

2 自由程與宇宙標(biāo)度因子函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)過程

2.1 宇宙標(biāo)度因子與平均電子密度

首先，我們需要推導(dǎo)出自由程與宇宙標(biāo)度因子的函數(shù)關(guān)系。我們通過宇宙中的平均電子密度，計(jì)算出光子與電子的平均碰撞頻率，再用平均碰撞頻率乘上光速就可得到在當(dāng)今宇宙中光子對(duì)電子的自由程。其中，計(jì)算宇宙中平均電子密度時(shí)會(huì)用到宇宙的體積，計(jì)算體積時(shí)會(huì)用到宇宙標(biāo)度因子。這樣，我們就可以得到宇宙中光子自由程與宇宙標(biāo)度因子的函數(shù)關(guān)系。由于從宇宙尺度上看，雖然物質(zhì)分布會(huì)出現(xiàn)集中的情況，但由于星系分布相對(duì)平均，并且個(gè)星體體積相對(duì)于宇宙體積也是極為渺小的，所以我們用平均電子密度來計(jì)算是成立的。

最后，通過弗里德曼方程，我們還可以知道宇宙中光子自由程隨著宇宙年齡變化的大體變化趨勢，這對(duì)宇宙年齡的推測是很有幫助的。

關(guān)于自由程與宇宙標(biāo)度因子的函數(shù)關(guān)系我們的推導(dǎo)過程如下。

首先，我們來計(jì)算當(dāng)今宇宙中的平均電子密度。現(xiàn)階段宇宙中約有個(gè)銀河系，銀河系約中有恒星系，恒星系的平均質(zhì)量約為g，1g物質(zhì)中約有個(gè)電子。宇宙中的總電子數(shù)可近似計(jì)算為N==。由于我們考慮的是物質(zhì)主導(dǎo)的宇宙，所以在宇宙的不同時(shí)期，總電子數(shù)是恒定的，始終是。平均電子密度既可以表示為，其中V是宇宙體積。再根據(jù)（R為宇宙標(biāo)度因子），就可以得到。

2.2 光電碰撞頻率

然后，我們可以計(jì)算光子與電子的碰撞頻率，即光子與電子每秒鐘的的碰撞次數(shù)：

具體含義如下。在光子的運(yùn)動(dòng)中，其運(yùn)動(dòng)過程示意如右圖所示。

光子運(yùn)動(dòng)時(shí)與電子碰撞發(fā)生散射。其運(yùn)動(dòng)通過的路徑實(shí)際上是占有一定空間的圓柱體通道，半徑為圖中的d。光子運(yùn)動(dòng)時(shí)只會(huì)與在這個(gè)圓柱體內(nèi)的電子發(fā)生

散射。

在光子的這個(gè)圓柱體的橫截面積成為光電散射截面，即為公式中的。的值與光子和電子的碰撞角度、相對(duì)速度都是有一定關(guān)系的。在這里我們?nèi)∫粋€(gè)平均值，約為。

公式中的c為光速，c與的乘積即為單位時(shí)間內(nèi)光子運(yùn)動(dòng)路徑通道所占有的空間體積。

n為之前推導(dǎo)過的宇宙中平均電子密度，這樣，就是單位時(shí)間內(nèi)光子所經(jīng)過圓柱體路徑中所存在的電子數(shù)量，即為光子與電子每秒鐘的的碰撞次數(shù)，就是我們要的碰撞頻率。

2.3 自由程與碰撞頻率

最終，我們就得到了宇宙中光子受電子影響運(yùn)動(dòng)的自由程。

f是光子與電子的碰撞頻率，就是光子在與相鄰的兩個(gè)電子發(fā)生兩次碰撞之間所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。即為光子在兩次碰撞之間自由運(yùn)動(dòng)的路程。

將帶入到上式中可以得到

2.4 自由程與宇宙標(biāo)度因子

我們可以把式子展開，直接得到宇宙中光子自由程與宇宙半徑R的關(guān)系式

2.5 自由程與宇宙年齡

若要進(jìn)一步得到宇宙中光子自由程與宇宙年齡的關(guān)系，我們要借助到弗里德曼方程在物質(zhì)主導(dǎo)的宇宙（時(shí)對(duì)應(yīng)著物質(zhì)占主導(dǎo)地位的宇宙，意味著宇宙中物質(zhì)的密度遠(yuǎn)超過輻射的密度）中：

弗里德曼方程的解為：

R為宇宙標(biāo)度因子

所以我們可以推導(dǎo)出：

在物質(zhì)主導(dǎo)的宇宙中光子自由程與宇宙年齡成正比。

3 函數(shù)關(guān)系的檢驗(yàn)

我們需要的函數(shù)關(guān)系已經(jīng)求出，現(xiàn)在用已知的太陽數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)一下函數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確性。特別需要注意的是，由于太陽與宇宙的總物質(zhì)數(shù)不同，所以這里的常數(shù)N不是宇宙中總電子數(shù)，而是太陽中總電子數(shù)。太陽中

太陽的半徑

帶入到公式中

這與根據(jù)目前技術(shù)實(shí)際得到的太陽中光子自由程的數(shù)值是相符合的。所以，我們推導(dǎo)出的函數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確性還是比較高的。

4 應(yīng)用函數(shù)關(guān)系對(duì)宇宙環(huán)境推測

我們假定宇宙大爆炸理論正確，并且宇宙按照接近光速的速度膨脹，再根據(jù)推導(dǎo)出的函數(shù)關(guān)系，可以分別計(jì)算出大爆炸后30萬年的早期宇宙與大爆炸后137億年左右的現(xiàn)階段宇宙的半徑、總電子數(shù)，光子自由程與光子從其中心運(yùn)動(dòng)到邊緣用時(shí)。詳細(xì)數(shù)值請(qǐng)見下表：

首先我們將早期宇宙和太陽進(jìn)行對(duì)比。目前在科學(xué)界中，根據(jù)對(duì)大爆炸理論支持，大多把早期宇宙的環(huán)境比作現(xiàn)在的太陽，是一個(gè)溫度極高、具有極高能量與劇烈反應(yīng)的環(huán)境。但是，光子在早期宇宙中的自由程還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在太陽中的自由程的。可見，早期宇宙的物質(zhì)密度與物質(zhì)反應(yīng)劇烈程度等物理環(huán)境還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上現(xiàn)在的太陽。所以，宇宙發(fā)展過程中如果有類似太陽的環(huán)境，只會(huì)集中在大爆炸后前30萬年內(nèi)以輻射為主導(dǎo)的爆炸階段。但由于輻射對(duì)光子的影響我們還不得而知，我們的探究成果仍無法模擬出宇宙中超高溫的物質(zhì)反應(yīng)階段。

再將早期宇宙同現(xiàn)階段宇宙對(duì)比。早期宇宙的空間體積與現(xiàn)在的銀河系相似（以銀河系磁場邊緣為體積界限），但是光子自由程比現(xiàn)階段宇宙小了16個(gè)數(shù)量級(jí)，說明早期宇宙的物質(zhì)密度比現(xiàn)階段宇宙大得多、透明度要小得多。可以推測出，早期宇宙的物質(zhì)分布要相對(duì)均勻，而現(xiàn)階段宇宙物質(zhì)分布則相對(duì)集中，光子與電子發(fā)生反射的幾率較小。

單獨(dú)看現(xiàn)階段宇宙的數(shù)據(jù)。現(xiàn)階段宇宙中光子自由程比宇宙標(biāo)度因子大3個(gè)數(shù)量級(jí)，直觀地反映出現(xiàn)階段宇宙中物質(zhì)密度極為稀薄，光子幾乎不受干擾、沿直線傳播。并且間接證明了現(xiàn)在宇宙中大部分為真空，物質(zhì)分布即為不均。

（1）在宇宙中物質(zhì)守恒的前提下宇宙中光子自由程與宇宙標(biāo)度因子的三次方成正比

（2）在弗里德曼宇宙模型下，光子自由程與宇宙年齡成正比。

（3）將太陽環(huán)境與早期宇宙環(huán)境類別雖然是推測早期宇宙環(huán)境的一種方法，但不可將二者等同。太陽環(huán)境與反應(yīng)程度是否與輻射主導(dǎo)的宇宙相似有待進(jìn)一步探究。

（4）早期宇宙的物質(zhì)分布要相對(duì)均勻，而現(xiàn)階段宇宙物質(zhì)分布則相對(duì)集中。且現(xiàn)階段宇宙中大部分空間、物質(zhì)分布相對(duì)集中，光子在運(yùn)動(dòng)過程中散射頻率小，幾乎沿直線傳播。

附錄：

應(yīng)用自由程概念計(jì)算光子通過一段位移所用總時(shí)間如下[1-2]。

在空間中，光子的運(yùn)動(dòng)軌跡大致入圖2所示。

由此可見，光子的運(yùn)動(dòng)軌跡是不規(guī)則的，不易直接計(jì)算其通過一段位移走過的總路程。但是我們可以把光子的軌跡規(guī)則化，其等效軌跡如圖3所示。

我們假定O點(diǎn)為光子的運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)，向右為運(yùn)動(dòng)正方向。在其向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，它先從原點(diǎn)出發(fā)，向正方向移動(dòng)一個(gè)自由程的長度到達(dá)A，然后與物質(zhì)微粒發(fā)生作用回到原點(diǎn)；之后又從原點(diǎn)出發(fā)，向正方向移動(dòng)兩個(gè)自由程的長度到達(dá)A1，然后與物質(zhì)微粒發(fā)生作用回到原點(diǎn)；接下來又從原點(diǎn)出發(fā)，向正方向移動(dòng)三個(gè)自由程的長度到達(dá)A1’，然后與物質(zhì)微粒發(fā)生作用回到原點(diǎn)；以此類推，光子每次從原點(diǎn)出發(fā)向正方向移動(dòng)的位移成等差數(shù)列增長，其首項(xiàng)及公差均為自由程。所以光子通過一定位移所走過的總路程為：

其中s為路程x為位移、n為從原點(diǎn)出發(fā)的次數(shù)：

由于光子做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，所以等差數(shù)列求和后還需要成二。光子在最后一次從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到距離原點(diǎn)x處不發(fā)生散射作用直接通過，所以最后需要再減去x

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