探究式教學在保形映射中的應用

摘 要 在保形映射的教學過程中，我們采用探究式教學法，通過舉例法闡述了這種教學法的若干種應用，讓學生枯燥的學習變得具有創新性。

關鍵詞 探究式教學 保形映射 舉例法

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

Application of Inquiry-based Teaching in Conformal Mapping

Abstract In the teaching process of conformal mapping， we use the probing type teaching method， through the example， talks about some applications of this teaching method， make students' learning not a dull thing but become innovative.

Key words probing type teaching； conformal mapping； example

探究教學法不同于講授法等其他灌輸式的教學方法，即教師將知識重點直接傳授給學生，而是引導學生自己針對所學的概念、定理、數學思維方法或者一些實際生活中的問題等，主動地反復地思考、探究，也可以以小組的形式集體討論，得出一些有用的結論，甚至將自己所學的知識應用于解決實際問題。我們強調的是這是一種學生主動參與的教學方法。既可以對一般的學習內容或方法展開探究，也可以針對與實際聯系比較緊密的某個數學問題，讓學生產生問題，或者教師提出問題，條件允許的話，還可以為學生提供必要的一些條件和環境，然后學生針對這些問題，通過猜想、邏輯推理、計算機上運行計算等活動， 得出相關的結論，這樣就能在探究活動的基礎上建構起對數學知識（如：保形映射）的全面理解和方法、技能等，甚至解決某些實際問題。

在保形映射的教學過程中，我們可以采用探究式教學法，來達到很好的效果。首先，在學生學習了保形映射之后，應引導學生聯想到其前繼課程：高等數學，給學生提出一個問題：現在學的映射跟高等數學里的有何不同，學生于是開始認真探究其相同或不同點。比如，學生通過對比研究發現，反演映射w=1＼z —— 一個特殊的分式線性映射，可以看成由關于單位圓的對稱映射和關于實軸的對稱映射復合而成，它具有保形性，這是一種很好的性質，在具體應用當中經常用到這種映射。而高等數學里面一個倒映射，如y=1＼x，就沒有以上這些性質，在坐標系中可以用簡簡單單的圖表示出來，當然它的用處也很廣泛。又比如，在“唯一決定分式線性映射的條件”這一小節中，在給出某個前提條件后，我們可以得到唯一的分式線性映射。有個定理說，在z平面上任給三個不同的點，在w平面上也任給三個不同的點，則存在唯一的分式線性映射，把前三個點分別依次地映射為后三個點。學生發現，在實數域里面，很難找到這樣“唯一”的映射，學生驚喜地體會到復變函數的這些優勢。

對工科學生來說，在學習保形映射基本概念、定理、方法之后，可以進一步探究一下對自己專業知識的影響，或探尋它對我們的實際生活的一些影響。在速度場、熱流場和靜電場等平面場中，經常用保形映射的方法求得復勢函數，即將已知的平面區域映射為上半平面、圓域或者帶形區域等，從而利用此復勢求得其它的一些量。引導學生進行探究時，學生對于保形映射不是很熟悉，遠遠不如對高等數學那樣熟練，因此在應用這一層面上，可能走得有點艱難，這時，教師不妨設定一些具體的專業問題，或者與實際息息相關的題目，如，有一條很深的河流，河底有一高度為h的河堤，在遠離河堤的流源處的流速是已知的，問此河流中，流速的分布情況如何？設問目的是為了激起學生的探究欲望，讓學生體會到如何由實際問題抽象出數學問題。這樣一來，有了具體的問題，學生的方向目標更加明確，研究起來更加有信心、有動力了。并且一個問題的解決可以激發對其它問題的探究興趣，教學起到了促進學生自主學習的作用。反過來，對實際問題的深入研究可以鞏固所學的基礎知識，學生對于保形映射的內容的記憶深度絕對強于一般的灌輸式教學。學生既可以從容面對考試，也可以將保形映射的研究方法應用于現實問題。諸如這類的數學探究課，讓學生體驗用所學數學理論解決實際問題的過程，體會數學的應用理論及其應用價值，培養學生從數學的角度看待世界的習慣。

最后，學生應反思，學了保形映射最大的用途是什么，為何要花大量時間學它呢？經過思考、討論以及查閱相關資料，總結出它能將復雜問題變得簡單，將復雜的圖形變得簡單、“標準”。在工程中有這樣一個例子，在研究飛機機翼的剖面外部區域時，因為要研究機翼剖面輪廓線形狀以及它在空中飛行時所受的阻力、上升力，如按原來的圖形進行計算的話，那么過程會很復雜，但通過保形映射，可將原圖變為單位圓，問題轉化為研究單位圓外部的性質。

我們還可以為學生營造一個有利于探究教學的環境。多采用多媒體及實驗室等現代教學手段。特別地，在整個大學學習期間，不管是數學專業還是非數學專業的學生，都十分熱衷于數學建模，探究式教學有助于激發數學建模的熱情，加快數學建模的步伐，我們可以觀察到，有的時候，數學探究過程中，數學建模的過程就已經完整地展現出來了。探究式教學已經滲透在大學的其它各種課程中，它的實用性非常強，它讓學生習慣用數學的思維去思考周圍的方方面面，培養學生的理性思維、創新能力，從而更好地實踐于實際應用中，真正做生活的主人。

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