“排列組合”的教學設計及思考

“排列組合”是高中代數的一個獨立分支，其應用廣泛，與其他知識聯系較少，解題思想方法靈活，可以發展學生的邏輯思維能力和抽象能力.但正因為這部分內容的思維抽象，條件隱晦，使學生覺得難以下手，比較難學.以下是我在教學中的一些設計及思考.

一、加大兩個計數原理、排列與組合的對比力度

分類計數原理和分步計數原理的知識的應用貫穿著排列組合及概率的學習，是學好這部分知識的關鍵.如果對分步計數原理和分類計數原理的理解不充分，就會影響解決排列組合問題的準確性.而且近幾年高考將側重點放在兩個計數原理的考查上.所以在進行這兩個原理的教學中一定要講清講透.我的做法是，先通過教材（人教A版）給出的問題利用列舉法得出答案，讓學生對分類、分步有初步的了解，分析兩個問題的區別，明白類和步的區別，使學生清楚“類”和“類”是相互獨立的，任何一類辦法中的一種方法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法數就用分步計數原理；“步”和“步”是相互依存、缺一不可的，完成一件事需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，求完成這件事的方法數就用分步計數原理.最后總結出：分類相加，分步相乘.然后再做一些深化鞏固練習.為了激發學生的興趣并與高考接軌，可以讓學生練習一些高考題.

【例1】（2012年高考全國卷理，11）將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）.

A.12種B.18種C.24種D.36種

師生互動：先排第一行第一列，可以在a，b，c中任意選一個，有三種方法；再排第一行第二列，可以在剩下的兩個字母中任意選一個，有兩種方法；最后排第二行第一列，有兩種方法.排完這三個位置后其他位置的字母就確定了，完成這件事分3步，所以用乘法.可得3×2×2=12種.

【例2】（2012年高考北京理，6）從0，2中選一個數字.從1、3、5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數.其中奇數的個數為（）.

A.24B.18C.12D.6

師生互動：組成的三位數可以分成兩類：奇偶奇，和偶奇奇.第一種先填個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（2種選擇），共12種；如果是偶奇奇，同理，個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（1種選擇），共6種，因此共有12+6=18種情況.得到結果后再來與學生一起分析用乘法或加法的原因.這樣設計使學生從具體到抽象到具體地去掌握兩個原理，符合人的認識規律.

而區分某一問題是排列還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關.若交換兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即有序排列，無序組合，并用例題來說明.在教學中加大分類與分步計數原理、排列與組合的對比力度，就能強化它們在學生頭腦中的可辨別性，避免在解題中產生混淆.

二、把抽象轉化為具體

教育家杜威曾說：“教學絕對不僅僅是簡單地告訴，教學應當是一種過程的經歷，一種體驗，一種感悟.”對于排列組合的應用題，學生覺得比較難，主要還是因為排列組合的抽象性.如果能把抽象的數學學習變得具體形象起來，把問題與學生的生活緊密聯系，就能使學生體驗到生活中的數學是無處不在的，從而培養學生的觀察能力和解決實際問題的能力.如對于這樣的問題：4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同的報名方法種數是多少？剛開始解決這類問題時學生老弄不清是34還是44.我是這樣處理的：在講臺上準備3個盒子，分別寫上足球隊、籃球隊、乒乓球隊，先讓一名學生上來選隊，選上哪個隊就把紙團扔到哪個盒子里，問：1號同學有幾種選擇？生：3種.師：完成選球隊這件事了嗎？生：沒有.師：2號同學上來選.通過這樣的過程，學生知道每個同學都有3種選擇，只有當4位同學都選完球隊后才完成這件事，根據分步計數原理，得3×3×3×3，即34.這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛.同時，學生也能順利地解決這個問題.又讓學生做鞏固練習：汽車上有乘客10人，沿途有5個車站，問乘客下車的方式有幾種？有些學生能迅速地得到答案，有些學生覺得難以下手.我對一個學生說：假設你在車上，可以有幾種下車方式？通過引導，最后大部分學生都可以得到正確的答案.由此可見，對于排列組合中的許多抽象問題，讓學生變成題目當中的人，使學生身臨其境，成為解決問題的決策者，充分發揮了學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，達到解決問題的目的.

三、注意解題方法、解題策略的歸納總結

認知結構是人們頭腦中的知識結構，它具有整體性和概括性.認知心理學認為，認知結構的整體性越強、概括水平越高，就越有利于學習的保持與遷移.經常有學生說：上課聽得懂，但課后不會做.這些學生在解題過程中，不會利用或利用不好已學的相關知識，找不到解題途徑或解題方法，以致解題速度不快、解答過程繁雜、解答結果出現重復或漏缺等.這時需要教師引導學生進行必要的反思，提升學生的解題能力.不能就題論題，問題解決后要引導學生進行必要的總結.如，有限制條件的排列問題的解題策略：特殊位置、特殊元素要優先考慮；相鄰問題先捆后松，不相鄰問題見空插入，分組問題等.通過例題的講解再加以概括，使學生真正掌握解題的策略.如：7人站成一排，甲不站兩端，有幾種站法？引導學生明白7人排隊，與順序有關，這是一個有條件限制的排列問題，可以通過分步及排列知識來解答.不少學生先考慮甲，有5個位置可以站，其他6個人可以隨便地站6個位置，得到A15A66；師：可以先考慮前后兩個位置嗎？由學生思考，回答：前后兩個位置可以由甲以外的6個人中選兩個來排，其他5個位置由包括甲等5人來排，共有A26A55；讓學生比較兩種解法，并發現其結果是一樣的.前一種方法考慮人（元素），后一種方法考慮位置.教師歸納出特殊元素法和特殊位置法.在巡視和學生回答的過程中發現有的學生先考慮甲站在哪，又考慮前后兩個位置可以站什么人，出現了思維混亂.強調：在解題過程中，應以某一元素（或位置）為軸心展開討論，不能一會以這個元素來展開，過一會又以位置來展開，這樣會造成思路不清，引起重復或遺漏.再如：

【例3】（2012年高考遼寧理，5）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐一起，則不同的坐法種數為（）.

A.3×3！B.3×（3?。?

C.（3?。?D.9！

這是一個很典型的相鄰問題，告訴學生：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其他元素一起作排列，同時要注意合并元素內部也必須排列.解決方法是先把三個家庭捆起來成為3個元素進行排列，有3！種排法，再把每個家庭的人松開進行排列，共有（3?。?種，所以最后答案（3?。?.還有組合中的分組問題是學生比較容易弄錯的問題，如：6本書平均分為3組有幾種分法？剛得到這道題，不少學生就迅速回答：C26C24C22，這時，我讓學生把a、b、c、d四個字母平均分成兩組，把所有的情況一一列出，學生發現分組方法如果是C24C22，則每一種都重復出現了一次，需再除以2.對于6個字母平均分組，如果取C26C24C22，每一種出現了6次，相當于三個組進行了排列，所以應除以“3！”，引導學生歸納出：平均分組，則分法=取法/階層.從而強化學生的記憶.還有枚舉法、間接法等都是排列組合問題中常用的解題方法.

（責任編輯黃桂堅）