數學思維能力生成途徑初探

數學思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系.將學法指導納入課堂教學之中，以促進學生數學思維能力的生成.如何培養學生的數學思維能力？在多年的數學教學摸索過程中，我對此的體會是，學生的數學思維能力生成可以從以下幾個方面入手.

一、以數學思維方式抽象出實際問題能力的生成

數學是思維的體操.而思維往往是由問題激發的，從數學思維的角度抽象出實際問題能力就顯得非常重要.以數學思維方式抽象出實際問題的能力生成途徑是什么？筆者在講線性回歸內容的課堂教學中，與學生有過這樣一段對話：

師：×××同學，為什么這么高.

生：（幾乎異口同聲）因為她父母都很高.

師：為什么她父母高，她就高？

生：遺傳啊！

師：這節課成為生物課？那么，你們現在知道她身高175厘米，誰能告訴我，她父親估計有多高？

生：……有學生開始隨口說了.

師：如果從數學的角度來思考，我們可以提出一個什么樣的問題？

生：已知子女的身高，怎樣估計父母的身高？

這就是典型的從數學角度思考問題.能夠回答出此問題說明學生是在用數學思維的方式考慮問題，只要教師有意識引導好學生，學生潛在的數學思維品質是可以開發出來的.實際上，如果我們從培養學生數學思維的角度看此問題，可以問題中涉及的圖形畫出來（圖1），然后將小島化為點，小橋化為邊成為圖形2.

圖1

圖2

圖3

于是“七橋問題”就成為圖3中的一筆畫問題了.這樣將一個看似與數學無關的問題通過觀察、分析，抽象成數學問題的思維方式，其實正是大數學家歐拉思考 “七橋問題”的思維方式.這樣看此問題，并不是要學生課堂去解決此問題，而是培養學生有意識地從數學思維的角度去分析平常的一些事情.學生以數學思維的方式抽象實際問題的能力就是這樣一點一點培養起來的.“習慣成自然”，只要堅持這樣的做法，學生創新性高級思維品質也會不知不覺地形成.

二、以數學思維的方法解決實際問題能力的生成

數學思維的方法就是要能夠把實際問題數學化，用數學知識來解決問題.比如，前面的師生對話可以進一步提出：既然可以由子女的身高估計父母的身高，那么應該怎樣估計？這樣就可以把線性回歸方程的相關知識順利引出來.比如，可以讓學生將自己、父親、爺爺的身高測出來，得到兩個變量的二維表格，近似得到一個回歸方程.這個過程體現了用數學的辦法解決問題的思維.又比如“你認為喜歡數學與性別有關嗎”這個問題，學生中存在分歧，都可以舉出一兩個例子來說明自己的觀點.由于學生非常相信數學的真實性，利用數學來解決此問題是解決分歧的最好途徑.調查一些數據，用柱狀圖、條形圖或者算出相關值，都可以使學生的觀點基本上統一了.原來“是否喜歡數學真的和性別有關”這說明了用數學辦法解決問題的威力.

“問題是數學的心臟.”如果不能提出“為什么”，那么以問題為中心形成網絡鏈接就無從談起.這就要求教師對數學和教育教學有深刻的理解，設計問題時要講究策略，以激起學生思維的火花.愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”一個好的問題能使思維得以產生、維持和深入.如果此題采用“問題式”教學法，逐步引導學生解決思維中出現的問題.學生思考問題、解決問題的能力也會逐步形成.在教學中，教師要主動讓學生提出疑問，敢于表達自己的想法.只要學生的想法有合理成分，教師就要予以肯定、鼓勵.“答疑不答，貴在啟發”.教師要針對題目關鍵或難點，精心設計循序漸進的階梯形問題，啟迪學生獨立探索解答，增強學生的創新意識.

三、問題反思能力的生成

反思是一種再思考，是對解題過程進行的梳理.有很多定理、公式都是在反思過程中通過歸納總結出來再證明的.因為反思是在不斷深化對數學問題的認識的一種創造性活動，有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題、再發現問題的能力.學生反思能力的生成主要集中在對解題過程的反思，對知識的融會貫通、提高數學學習效率都是很有用的途徑.因此教師不妨讓學生對解過的題目進行再思考，再優化，讓學生養成再思考的習慣.

四、追根溯源到知識的遷移能力生成

布魯納的認識發展理論認為，學習本身是一種認識的生成過程.任何知識都是有“根”的.教師在教學指導學生過程中必須對知識追根溯源.兩位教師都教學《兩角和差的正（余）弦公式的推導》.甲教師用課本的模式先推導

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，而且直接使用的是向量的坐標形式推導，過程沒有任何問題，學生也容易理解，課堂效果看起來也不錯，為什么要先講cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ而不先講sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ ？按照前面我們學習的順序，先正弦，后余弦；先和后差.難道因為先講cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ是因為好講？那么學生對知識的認識過程從何談起？實際上，按照認識論，學生的第一反應是先推導sin（α+β）.乙教師從sin（α+β）開始，學生思考從角的定義開始（這是學生的合理的思維過程），最后通過比較向量坐標的數量積形式來推導顯得很自然，而且很順利實現了知識的遷移.盡管相對來講顯得更繁瑣，但正是因為有了這樣的繁瑣，學生對這一組公式的理解更深刻，應用更靈活.由此可見，教師在教學中必須重視知識的形成過程，引導學生追根溯源、溫故知新、開拓思路.在此過程中學會對知識的分析、判斷、選擇和運用，并進一步把握知識的內涵.這樣知識才能得到合理的拓展，學生活學活用（知識的遷移）的能力才會自然形成.

五、求異能力的生成

求異能力是不依常規，尋求解答問題的全新的、獨特的方法的思維過程，是數學思維能力的發展.在教學中，教師可誘導學生的求異心理，鼓勵求“不同”，引導學生從開拓思路入手.即使通常的思路和模式能解決問題時，也應該探索不同的解決問題途徑.這是創造新知識，解決新問題的有效途徑.

學生數學思維能力的生成途徑可以從不同角度理解，產生不同生成路徑和模式，但他們的共同點是，必須具有初步的數學能力（如觀察、分析、歸納、運算、邏輯推理等），才能談到數學思維能力的生成，實現數學思維能力的提升，而“提出問題能力的生成——對問題（或過程）的質疑能力的生成——實現知識遷移能力的生成——創造新知識能力的生成”這一過程是實現數學思維能力生成的有效途徑之一.實踐證明，具備這幾種能力的人，其數學思維都比較明顯，數學素養也比較突出.

（責任編輯黃桂堅）