途徑倒轉思維法在中考解題教學中的運用

從與已有解題途徑相反的方向去思考問題和處理問題的思維方法稱為途徑倒轉逆向思維法［1］，其在中考解題中的滲透面較為廣泛.在實際的解題教學中，教師應注重數學概念、公式、定理的逆用性引導，將逆推分析法和反證法等方法融入解題教學，通過應用途徑倒轉思維法來提高學生的解題能力.

一、試題講解中應注重學生逆向思維訓練

解題時學生習慣于按照從左到右或化繁就簡的一個順序，這樣使數學概念、公式、定理不能得到實質性的掌握.在某些題中，需要學生能夠從問題的另一面出發，從右到左或對公式進行變形，對概念和定理命題的一個條件和結論轉化的深層理解.

【例1】（2011年黃岡市）要使式子a+2a 有意義，則a的取值范圍為.

分析：此題考查的是對分式和根式概念的逆向理解.只要保證根式里面的值大于等于零，分式中分母不為零即可.

【例2】（2012年廣州）已知關于x的一元二次方程x2-23x-k=0有兩個相等實根，則k的值為.

分析：一元二次方程解的情況可由根的判別式進行分類.此題考查的是根的判別式的逆用，有兩個相等實根表明Δ=（-23）2-4×（-k）=0，解出k=-3.

簡評：解題中對于數學概念、公式、定理的逆用，實際是重歸于對數學概念、公式、定理的認識.從以上兩題也反映出概念、公式逆用的考查在中考中的重要性.所以教師很有必要在解題中對學生進行該方面的思維訓練.

二、善用分析法，執果索因，挖掘承接結論與已知條件的輔助因素，逆向找出解題途徑

逆推分析法是指從欲求問題出發，對問題表述進行分析轉譯，著重于挖掘承接結論與條件的輔助因素，使得問題得以解答的一種逆向思維方法.中考數學題型中的幾何證明題、最值問題和運動探索題用逆推分析法解答能夠使解答過程更清晰，更具條理性.

【例3】（2011年上海中考）如圖1，在梯形ABCD

置關系的判斷方法，并應用這些方法解決有關實際問題.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關系的初步分析的基礎上得到圓與圓的位置關系的幾何方法，著重強調了幾何方法，對代數方法沒做要求，但用代數方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓，是平面幾何問題的深化，它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此，增加了用代數方法來分析位置關系的內容，這樣有利于培養學生的數形結合、幾何問題代數化等思想方法的運用能力及辯證思維能力，其基本思維方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義.

五、教學評析

數學是思想的體操，數學教學是思維的教學.學生的思維活動依賴于教師的循循善誘和精心的點撥與啟發，而數學學科的特點又決定了數學內容的掌握和運用都需經過艱苦、細致的思考和探索.問題具有啟發性和探索性是本教學設計的具體體現.比如，研究圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2：：x2+y2-4x-4y-2=0的關系時，問：有沒有必要把交點的坐標求出來？更進一步問：能否說明，要研究圓C1與圓C2的關系只要研究直線x+2y-1=0與C1（或C2）的關系就可以了呢？問題具有針對性、挑戰性，不僅體現了化歸的思想，而且頗具思考價值.

本課例運用變式教學，確保學生參與教學活動的持續熱情.變式教學是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點內在聯系的一種教學設計方法.通過變式教學，采用一題多用、多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，從而讓學生產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣.本設計提出問題1后接著提出與之有聯系的問題2和問題3.通過學生的觀察分析，發現了過兩圓交點的公共弦所在直線方程；通過學生不同思維方法的探究，歸納出曲線系方程解決與圓交點有關問題的優越性.

本課例采用聯想、設疑、探索、討論、引導、歸納等方法進行分析，并在教學情境中還原這種精神過程，給學生充分展示一系列的圖形或實際例子，讓學生親自實踐，親自操作，同時進行比較分析、研究.經過反復的觀察和思考后，憑借他們的直覺作出各種猜想，然后加以證明.只有這樣，才能夠使學生感到數學的親切、自然；才能夠使學生感到教學內容不是從天而降，從而對教學過程做到心中有數.而且，還使學生從中體驗到數學研究的思想方法，培養了對數學的學習興趣.

【基金項目】本文是廣東省教育科學“十二五”規劃課題：《高中數學新課程課堂教學典型案例研究》成果項目之一.

（責任編輯 黃春香）