三角形內接矩形的最大面積問題

【問題】美佳玩具廠生產一批玩具時剩下大量的全等三角形的余料，如圖1，△ABC就是其中一塊余料，邊BC=120mm，高AD=80mm.玩具廠為了有效利用這些余料，決定把它們加工成矩形布料，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，探究：怎樣加工才能使得矩形布料的面積最大？

圖1

我們知道，如果四邊形的四個頂點都在三角形的邊上，那么就稱這個四邊形為此三角形的內接四邊形，特別的，當四邊形是矩形時，就稱此四邊形為三角形的內接矩形.將這一實際問題轉化成數學問題就是三角形內接矩形的邊長滿足什么條件時，矩形的面積最大，最大面積與該三角形的面積有什么關系？

三角形內接矩形最大面積問題的求解，是代數、幾何數形結合的典型，用到了相似三角形的性質、二次函數的性質、三角形面積公式等基本的數學知識.這是一個典型的最優化問題，解決這類最大面積問題往往需要構建二次函數模型，進而利用二次函數求最值的有關知識加以解決.

要正確解決這個問題，我們首先來看特殊的三角形——直角三角形的情形.

【情形一】如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC內部作一個矩形DEFC，其中CD、CF分別在兩直角邊AC和BC上，設BC=a、AC=b、AB=c、CF=x，矩形DCFE的面積為y，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？