基于股價服從對數正態分布的凱利投資策略

摘 要 基于集中投資策略的思想，把股票價格服從對數正態分布與凱利優化模型相結合，使其能更好地運用于股票投資實踐中，推導出投資者個股投資的資產配置比例與投資者對個股投資收益率和標準差預測值之間的數學關系，從而實現最快財富增長速率的目標.

關鍵詞 凱利優化模型；對數正態分布；最優投資比例；財富增長速率

中圖分類號 F830.59 文獻標識碼 A

The Investment Strategy of Kelly Criterion Based

on the Stock Price Following Lognormal Distribution

LU Shijie， YANG Chaojun

（Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200052，China）

Abstract Based on the idea of centralized investment strategy， we combined the stock price following lognormal distribution with Kelly Criterion， so that it can be used in stock investment more effectively. In order to achieve the fastest wealth growth rate， we deduced the mathematical relationship between the optimal investment proportion and the expectation return and standard deviation of a stock.

Key words Kelly Criterion； lognormal distribution； optimal investment proportion； wealth growth rate

1 引 言

集中投資策略作為股票投資中的主流策略之一源于一種極為簡單的思想：在大概率事件上下大賭注.即在市場非完全有效的前提下，尋找少數最具投資價值的股票，將注意力集中在這些股票上，密切關注和研究，然后對它們進行大量集中投資，這樣不僅能獲得超額收益，反而會降低風險.目前，集中投資策略已經得到了理論的論證.

Kelly（1956）提出了凱利優化模型[1]，為集中投資策略提供了理論支持.對于服從二項分布的賭博游戲，即只有成功和失敗兩種結果的游戲，如果成功則贏得雙倍賭注，概率為q，若失敗則輸掉全部賭注，那么理性的玩家每次下注比例應為b=2q-1，從而使自身財富獲得最快增長.

Breiman（1961）對凱利優化模型進行了擴展[2]，對于任意給定的固定財富目標，凱利策略使實現這一目標所需的游戲次數漸進最少；對于每次獲勝概率不相同的賭博游戲，凱利策略同樣適用.Thorp則在實踐中證明了凱利優化模型，把凱利優化模型分別運用到了21點游戲（1966）[3]，其他賭博游戲（1969）[4]和現代組合理論（1972）[5].

Rotando和Thorp（1992）證明了基于連續分布運用凱利優化模型得出的財富增長速率存在唯一最大值，根據凱利優化模型投資者應該把資產的117%長期投資于標普500指數，即投資者應該以無風險利率借貸17%的資金來投資[6].

Ziemba （2005） 提出對投資大師們具有右偏屬性的資產組合進行評估應該用基于夏普比率的一般正態分布進行修正，并深入討論了凱恩斯、巴菲特、索羅斯等投資大師們對凱利優化策略的運用[7].Fuller （2006） [8]和Lee （2006） [9] 則分別討論了Morningstar和Motley Fool對凱利優化模型的運用.

Poundstone （2005） 的《財富公式》一書詳細介紹了投資者在投資實踐中面臨的一些限制，如對多資產面臨的多因素難以理解，短期風險，交易成本等，使得完全凱利優化策略難以實施[10].

本文在以上研究的基礎上，基于集中投資策略的思想對凱利優化模型進行了優化，使其能更好地運用于股票投資實踐中，把股票價格服從對數正態分布與凱利優化模型相結合，推導出投資者個股投資的資產配置比例與投資者對個股投資收益率的期望和標準差預測值之間的數學關系，從而實現最快財富增長速率的目標.本文主要創新點在于把股票價格服從對數正態分布的假設引入到了凱利優化模型，代替原有的二項分布假設（只有成功和失敗兩種結果），使得基于凱利優化模型的集中投資策略更加適用于股票投資.

2 標準凱利優化模型

凱利優化模型是一種服從二項分布的賭博游戲的最優下注策略.所謂服從二項分布的賭博游戲，即玩家未來只面臨兩種結果“成功”和“失敗”；如果成功，玩家獲得雙倍賭注，概率為q>50%；如果失敗玩家將輸掉所下賭注.假設玩家每次下注比例為b，那么他第n次游戲后的財富期望值

標準凱利優化模型僅僅是對服從二項分布的賭博游戲的最優下注策略進行了分析和討論.但是在股票投資實踐中，投資者面臨的未來股票價格可能性遠不止兩種結果，標準凱利優化模型難以直接運用于股票投資實踐中.本文則基于股票價格服從對數正態分布的假設把凱利優化模型運用到了股票投資實踐中.

3.1 研究假設

3.1.1 假設股票價格遵循幾何布朗運動

根據BlackScholes期權定價公式假設，股票價格服從漂移系數和波動系數均為常數的幾何布朗運動，即

dS=μSdt+σSdz.

其中，S表示股票價格，μ表示股票在單位時間內以連續復利表示的期望收益率（又稱預期收益率），σ表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率，z遵循標準布朗運動.因此，這是一個漂移率為μS、方差為σ2S2的It過程，也被稱為幾何布朗運動.

從經濟學意義上講，股票價格服從幾何布朗運動，可以表示為股價受兩種因素共同作用：一種因素是股票期望收益率的漂移作用μSdt，另一種因素是股價受隨機作用力的沖擊作用σSdz（見圖2）.

4.2 結論與啟示

根據模型的計算結果可以得出結論，只有當期望收益率大，收益率方差小時該項投資才能對投資者的總資產增長起到顯著的貢獻作用；而如果期望收益率較小，收益率方差較大時，最優投資比例也相應小，那么該項投資對投資者的總資產增長的貢獻作用微乎其微.

所以在股票投資實踐中，投資者應該集中精力去尋找市場上少有的具有高預期收益率和高確定性的股票，然后根據凱利優化策略進行集中投資長期持有.這樣投資者才能獲得高的超額投資收益，實現快速的財富積累.

本文提出的基于股票價格服從對數正態分布的凱利優化模型，正是在投資者對股票進行了深入分析研究有了對股票未來收益率預期之后，可以直接作為其投資實踐中資產配置比例的指引.

不過，盡管理論上按照凱利優化策略進行投資能給投資者帶來最快財富增長，但是在投資實踐中也存在一些因素限制了完全凱利優化策略的運用：

1）機會成本：當投資者擁有兩個具有相同期望收益率和方差且相互獨立的投資機會時，最優的方法是對兩個投資機會投入相同的資金f*，為了避免破產的可能性，必須有2f*<1，所以f*<0.5.同理，如果存在n個相同的投資機會，每個機會投資比例應該滿足f*<1/n，那么這一投資比例就很可能低于只有一個投資機會時運用凱利優化模型得到的最優投資比例.

2）風險容忍度.完全凱利優化策略對于許多投資者具有過高風險，如果用“部分凱利優化策略”，即f=cf*，對于他們會更加合適.

3）低于預期. “真實”場景可能甚至會差于保守估計的下限，此時如果投資者按照自己的預計情況來進行投資，他的投資比例就會高于實際最優投資比例，他不僅會面臨更高的風險，投資收益也會更低，而采用“部分凱利優化策略”則可以給他帶來一定的保護作用.

4）“黑天鵝”事件.人們傾向于忽視那些具有重大影響力的偶然事件產生的影響，這些事件將顯著地降低最優投資比例.如果不考慮它們，投資者同樣將面臨投資比例過高的風險.一個有效的把“黑天鵝”事件考慮進模型的方法是用場景最優隨機規劃模型，即假設一個事件發生的概率并指定它的結果但并不假設這件事情具體是什么.Geyer和Ziemba（2008）在西門子奧地利撫恤基金中運用了這一方法[17].

5）長期投資.凱利優化模型是一個漸進最優的投資策略，只有進行足夠長時間的投資，它的優勢才能得以顯現.

參考文獻

[1] J L KELLY. A new interpretation of information rate[J]. Bell System Technical Journal， 1956， 35：917-926.

[2] L BREIMAN. Optimal gambling systems for favorable games[J]. Fourth Berkeley Symposium on Probability and Statistics， 1961，1：65-78.

[3] E O THORP. Beat The Dealer[M].2nd Ed.New York： Vintage， 1966.

[4] E O THORP. Optimal gambling systems for favorable games[J]. Review of the International Statistical Institute， 1969，37（3）：273-293.

[5] E O THORP. Portfolio choice and the Kelly criterion. Proceedings of the 1971[J]. Business and Economics Section of the American Statistical Association， 1972，4：215-224.

[6] L M ROTANDO， E O THORP. The Kelly Criterion and the Stock Market[J]. The American Mathematical Monthly， 1992，99：922-931.

[7] W T ZIEMBA. The symmetric downside risk Sharpe ratio and the evaluation of great investors and speculators[J]. Journal of Portfolio Management Fall， 2005，3：108-122.

[8] J FULLER. Optimize your portfolio with the Kelly formula[EB/OL]. [2006-10-06]. Morningstar.com，http：//news.morningstar.com/articlenet/article.aspx？id=174562.

[9] E LEE. How to calculate the Kelly formula[EB/OL]. [2006-10-31].Fool.com，http：//www.fool.com/investing/value/2006/10/31/howtocalculatethekellyformula.aspx.

[10]W POUNDSTONE. Fortune's formula： the untold story of the scientific system that beat the casinos and wall street[M]. New York： Farrar， Straus and Giroux， 2005.

[11]E O THORP. The Kelly criterion in blackjack， sports betting and the stock market[J]. Handbook of Asset and Liability Management， 2006，1：385-428.

[12]L C MACLEAN， W T Ziemba， G Blazenko. Growth versus security in dynamic investment analysis[J]. Management Science， 1992， 38： 1562-1585.

[13]N N TALEB. The Black Swan： the impact of the highly improbable[M].New York： Allen Lane， 2007.

[14]L C MACLEAN， W T ZIEMBA， Y LI. Time to wealth goals in capital accumulation and the optimal tradeoff of growth versus security[J]. Quantitative Finance， 2005， 5 （4）：343-357.

[15]L C MACLEAN， E O THORP， Y ZHAO，et al. How does the fortune's formulakelly capital growth model perform？[J] Journal of Portfolio Management， 2011，37（4）：96-112.

[16]L C MACLEAN， E O THORP， W T ZIEMBA. Long term capital growth： the good and bad properties of the Kelly criterion[J]. Quantitative Finance， 2010，10（7）： 681-687.

[17]A GEYER， W T ZIEMBA. The Innovest Austrian pension fund financial planning model InnoALM[J]. Operations Research 56（4）：2008， 797-810.