固定執行價格下回望看漲期權保險精算定價

摘 要 利用保險精算方法，將期權定價問題轉化為純保費確定問題，根據股票價格過程的實際概率測度推導出了無風險利率為常數時，固定執行價格下回望看漲期權定價公式，驗證了當標的資產的期望收益率等于無風險利率時，保險精算定價和風險中性定價的一致性.最后通過實例分析了保險精算價格和風險中性價格的差異，并利用Matlab編程得到了保險精算價格與標的資產期望收益率之間的關系.

關鍵詞 保險精算；回望期權；算例比較

中圖分類號 O211.6 文獻標識碼 A

An Actuarial Option Pricing Approach to European

Fixed Strike Lookback Call Option

DAI Yanlei1， LIU Lixia2

（1.College of Mathematics and Information Science， Hebei Normal University， Shijiazhuang， Hebei 050024， China；

2.College of Mathematics and Information Science， Hebei Normal University， Shijiazhuang， Hebei 050024， China）

Abstract Using the actuarial option pricing approach， the option pricing problem was changed into a pure premium determination. This paper first deduced the pricing formula of the European fixed strike lookback call option by using the actuarial option pricing approach and the physical probabilistic measure of stock price process. With this result， it verifies that the actuarial option pricing is consistent with the risk neutral pricing when the expected rate of return of the asset equals the risk free rate. Then， the difference was compared between the two methods through numerical examples. Lastly， the relationship was derived between the actuarial approach price and the expected rate of return of the asset.

Key words the actuarial approach； lookback option； numerical example

1 引 言

隨著金融市場復雜程度的提高，標準期權已經不能很好地滿足客戶自身業務的需要，因此在標準期權的基礎上設計出了更加靈活方便的新型期權，如亞式期權[1]、回望期權[2]等.回望期權是一種路徑依賴期權，一般分為兩類：固定執行價格回望期權和浮動執行價格回望期權.它在期權到期日的收益依賴于回望期內標的資產所經歷價格的最大值或最小值，其中回望期為整個期權有效期的固定執行價格下回望看漲期權在到期日的收益為+，0≤t≤T.Goldman[2]等人在1979年得到了浮動執行價格下回望期權的定價公式，這一公式于1991年被Conze和Viswanathan[3]重新推導并加以推廣，得到了包含固定執行價格下回望期權在內的其他類型回望期權的定價公式.然而，這些定價公式都是在BS[4]模型假設基礎上得到的.

B-S模型假設金融市場是無套利、均衡、完備的.事實上，這種理想的市場是不存在的.Mogens Blad和Tina Hvid Rydberg[5]在1998年首次提出期權定價的保險精算方法，其基本思想是：無風險資產按無風險利率貼現，風險資產按期望收益率貼現，該方法將期權定價問題轉化為等價的保險問題，不涉及任何經濟假設，在有套利、不均衡、不完備市場上也能適用.2005年Norbert Schmitz[6]對Bladt和Rydberg的保險精算方法提出了質疑，用反例說明了在e-μTST>e-rTK的條件下執行期權，賣方向買方提供明顯的套利機會而獲得的收益為零.國內學者鄭紅[7]、李英華和李興斯[8]分別在2008年和2010年肯定了保險精算方法的合理性，并加以修正，指出保險精算方法下歐式看漲期權的合理執行條件為ST>K.

本文利用保險精算方法，將期權定價問題轉化為純保費確定問題，根據股票價格過程的實際概率測度推導了無風險利率為常數時固定執行價格下回望看漲期權定價公式.經驗證，當標的資產的期望收益率等于無風險利率時，本文得到的保險精算價格與文獻[3]的風險中性價格一致，且無任何經濟假設，更符合現實情況.最后本文通過實例分析了保險精算定價和風險中性定價的差異，進一步驗證了保險精算定價的有效性.

5 結 論

本文利用保險精算方法，將期權定價問題轉化為純保費確定問題，根據股票價格過程的實際概率測度推導了無風險利率為常數時固定執行價格的回望看漲期權定價公式，驗證了當標的資產的期望收益率等于無風險利率時，保險精算定價和風險中性定價的一致性.最后通過算例分析了保險精算價格和風險中性價格的差異，驗證了保險精算是一種有效期權定價方法. 并利用Matlab編程得到當μr時，保險精算價格略低于風險中性價格，表明風險中性定價高估了期權的價值.最后得到了在假設波動率不變的條件下，保險精算價格隨標的資產期望收益率的增加而減小的結論.

參考文獻

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[3] A CONZE， R VISWANATHAN. Path dependent options， the case of lookback options[J]. Journal of Finance，1991，46（5）：1893-1907.

[4] F BLACK， M SSHOLES. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy，1973， 81（4）： 637-655.

[5] M BLADT， H T RYDBERG. An actuarial approach to option pricing under the physcial measure and without market assumption[J]. Insurance： Mathematics and Economics，1998，22（1）： 65-73.

[6] Norbert SCHMITZ. Note on option pricing by actuarial consideration [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2005，36（3）： 517-518.

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[8] 李英華，李興斯.求解期權定價問題的熵保險精算方法[J].遼寧工程技術大學學報，2010，29（3）：513-516.

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