非參數異方差回歸模型的局部多項式估計

摘 要 本文主要研究非參數異方差回歸模型的局部多項式估計問題.首先利用局部線性逼近的技巧，得到了回歸均值函數的局部極大似然估計.然后，考慮到回歸方差函數的非負性，利用局部對數多項式擬合，得到了方差函數的局部多項式估計，保證了估計量的非負性，并證明了估計量的漸近性質.最后，通過對農村居民消費與收入的實證研究，說明了非參數異方差回歸模型的局部多項式方法比普通最小二乘估計法的擬合效果更好，并且預測的精度更高.

關鍵詞 非參數回歸；異方差；局部多項式擬合；局部極大似然估計；漸近正態性

中圖分類號 O212.7； F224.0 文獻標識碼 A

Local Polynomial Estimations for Nonparametric

Heteroscedastic Regression Model

—— An Empirical Analysis of Rural Households’ Consumption and Income

ZHANG Dongyun

（Business School， Henan Normal University， XinXiang， Henan 453007，China）

Abstract This paper studied local polynomial estimations for nonparametric heteroscedastic regression models. Firstly， the local maximum likelihood estimation of regression mean function was gained by using local linear fitting. Secondly， considering the positive of regression variance function， its local polynomial estimation was proposed by using local logpolynomial fitting， which guaranteed positive of the local estimation. Furthermore， we verified asymptotic normality of the local estimation. Finally， with the real data studies of Chinese rural residents’ consumption and income， it shows that the local polynomial method for nonparametric regression models performs better than the least squares method， and has higher accuracy.

Key words nonparametric regression； heteroscedastic； local polynomial fitting； local maximum likelihood estimation； asymptotic normality

1 引 言

由于非參數回歸模型統計推斷問題不依賴于總體的分布類型，因此其有著非常廣泛的應用.有關非參數回歸模型的研究可以參見文獻[1-5，]等.近年來，非參數異方差回歸模型得到飛速的發展，其中回歸模型的異方差性，是指對于不同的解釋變量的觀測值，隨機誤差項的方差是不同的.比如，橫截面數據通常都具有異方差性.何其祥等[6]研究了線性模型的異方差的局部多項式估計.

本文中，考慮非參數異方差回歸模型中均值函數和方差函數的局部多項式估計問題，這里，采用的技巧是局部多項式擬合（參見文獻[7]）.注意到方差函數是非負的，對方差函數的對數進行局部多項式擬合，保證了回歸方差函數的估計的非負性.此外，利用非參數異方差回歸模型的局部多項式估計方法，對我國農村居民人均消費支出與人均純收入之間的關系進行了實證分析，結果表明，非參數異方差回歸模型的局部多項式方法比最小二乘的方法有更好地擬合效果和更高的預測精度.這是由于改革的逐漸深入，居民的經濟生活中的不確定因素日漸增多，人們很難對未來的收入做出比較理性的預期，所以居民的消費行為是一個時變的過程，并且在不同的時期存在著顯著的差異性，而傳統的經濟計量模型很難解釋居民生活消費行為的這種時變特征，而本文的非參數異方差回歸模型能更好地捕捉居民生活消費行為這種時變的特征.

2 模型的局部多項式估計

考慮非參數異方差回歸模型：

參考文獻

[1] C J STONE. Consistent nonparametric regression[J]. The Annals of Statistics， 1977， 5（4）：595-645.

[2] 李丹寧，穆錚，石軍，馬明洋.基于非參數估計方法的滬銅期貨價格研究[J]. 經濟數學，2012，29（3）： 32-35.

[3] H G MULLER，U STADTMULLER. Estimation of heteroscedasticity in regression analysis[J]. The Annals of Statistics， 1987， 15 （2）： 610-625.

[4] K YU， M C JONES. Likelihoodbased local linear estimation of the conditional variance function[J]. J Amer. Statist. Assoc.， 2004，99 （1）： 139-144.

[5] 王景樂，鄭明.非參數回歸中方差變點的小波檢測[J]. 應用概率統計，2012，28（4）：413-438.

[6] 何其祥，鄭明.一元線性模型異方差的局部多項式回歸[J]. 系統工程理論方法應用，2003，12（2）： 153-156.

[7] J FAN， I GIJBELS. Local polynomial medelling and its applications[M]. London： Chapman and Hall， 1996.