運用“倒推”策略解決問題

生活中的事情從發生到結束總是有過程的，這個過程或是在數量的多少上發生變化，或是在方向、路線、時間等方面發生變化，或是在其他方面發生變化。研究這些事情里的數學問題通常有兩條線索：一條是從事情的起始狀態，根據將要發生的變化，推斷結束時的狀態；另一條是從事情結束時的狀態，聯系已經發生的變化，追溯起始狀態。學生比較習慣用前一條線索分析數量關系和解決實際問題，但是，有些問題用后一種思路去解決更為簡便。鑒于“倒過來推想”這一策略對學生有較高的思維要求，因此在設計前，執教者要客觀分析學生的思維水平和解題基礎，在教學中要引導學生克服思維上的障礙，還原自己的解題過程，突破解題的難點。另外需要注意的是，一方面要引導學生在簡單的事情中體會倒推是一種策略，另一方面要引導學生學會舉一反三，靈活運用倒推策略解決實際問題。

一、故事激趣

故事引入：一天，李白在家中請客。到中午十二點，還有幾個客人沒到。于是自言自語：“該來的怎么還不來？”聽到這話，客人們心想：“該來的還不來，那么我們是不該來了？”于是有一半客人告辭而去。李白后悔說錯了話，著急道“不該走的又走了！”剩下的客人心想：“不該走的走了，看來該走的是我們啊！”于是剩下的客人又走了一半，李白見狀，十分懊悔，辯解道：“我說的不是他們啊！”一聽這話，剩下的客人心想：“不是他們？那就是我們了！”于是剩下的客人，有一半嘆了口氣，也走了。最后只剩下李白最要好的，最了解他的一個朋友默默看著他，哭笑不得……

問題：有多少人到李白家里做客？

通過故事中隱藏的數學問題激發學生探究的欲望，激活學生認知儲備和經驗儲備中“倒過來推想”的思想方法。

二、從舊知入手感知策略

1.出示課題（解決問題的策略）。

提問：同學們以前接觸過類似的課題嗎？這里的“策略”是什么意思？

指出：在解決比較特殊、比較復雜的問題時，往往要用到一些策略。今天我們學習解決問題的策略，就從簡單的問題開始。

2.舊知引入。

談話：這是同學們曾經接觸過的題型，“一個數原來是20，經過如下兩次變化后，現在是多少？”說說計算的過程。

3.感知策略。

引導：“如果現在的結果是20，那么原來是多少？”說說你的思考過程。

比較，上面（1）、（2）兩題有什么地方不同？

啟發：“某一個數經過如下兩次變化后，現在的結果是54，這個數原來是多少？”

討論：（3）題與（1）和（2）題中的哪一題相似？你是怎么想的？比較（2）、（3）兩題有什么共同點？（知道現在的結果，“倒過來推想”原來的數；不僅思考方向要從現在到原來，而且計算也要反著算。）

板書：原來←現在

4.揭示概念。

指出：像這樣從現在的結果出發，根據變化的過程，倒過來推想原來的狀態，我們把這種策略叫做“倒推”（板書：倒推）。

評析：教師課前談話和引入部分的設計獨具匠心：一是有趣味性，改編的故事“李白請客”，其富有趣味的情境，集中了學生的注意力，激發了學生探究的欲望。二是有數學味，“填數”活動喚起了學生頭腦中已有的認知儲備，讓學生體驗到要知道原來的數必須從現在一步一步往前倒推。三是有導向性，兩次活動都能讓學生在猜想的過程中，體驗到要知道事物原來的狀態必須借助一定的方法，初步感悟倒推策略的本質——倒過來推想。

三、在模型構建中引入策略

1.整理條件。

出示例題：小明原來有一些郵票，今年又收集了24張。送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？

引導：仔細觀察，這道題有什么特點？小明郵票的張數發生了幾次變化？怎樣變化的？為了清楚地表示小明郵票張數的變化情況，建議先對題中相關信息進行整理。你認為怎樣摘錄方便快捷呢？（學生如有困難可提示方法：摘錄重點語句加箭頭，或用方框加箭頭……）

投影展示：

方法一：又收集24張→送給小軍30張→還剩52張。

啟發：有什么建議要提？

方法二：原有？張→又收集24張→送給小軍30張→還剩52張。

指出：這位同學雖然多寫了幾個字，但完整、清晰。

方法三：

（？張）■（ ）■（52張）。

提問：這里的“+24”、“-30”是什么意思？

方法四：（ ）+24-30=52。

點評：最后兩種方法運用數學符號來表示數量的變化過程，更加簡捷。

2.嘗試“倒推”。

提問：整理信息后，我們發現要求“小明原來有多少張郵票？”可以用“倒推”的策略來解決。誰來說說怎樣倒推？（多媒體演示）

3.列式解答。

方法一：52+30-24=58（張）。

方法二：52+（30-24）=58（張）。

提問：方法一中的“+30”、“-24”表示什么意思？方法二中為什么要先算“30-24”？怎么確定上面的解答是正確的？怎樣檢驗？

4.歸納反思。

啟發：這道題為什么要倒推？

講解知道變化的過程和現在的結果，推算原來的情況。

評析：此例是典型的倒推題，呈現的是一個數量的兩次變化，與導入部分的“填數”活動無縫對接，更加符合學生的認知特點和思維規律。倒推策略應用的典型特征是已知現在，要求原來。這里教師突出關鍵問題，首先引導學生思考：這道題有什么特點？小明郵票的張數發生了幾次變化？怎樣變化的？然后讓學生通過整理條件——確定策略——列式解答——檢驗答案，突出波利亞的“怎樣解題的步驟”。通過教學讓學生掌握倒推的方法，也就是從有序整理到按序倒推，最后再按順序檢驗這一解決問題策略的模型，掌握用“倒推”策略解決問題的特殊性，體驗在特定問題情境下用“倒推”策略解題的優越性和“倒推”策略的具體形成過程。即在通常情況下，已知某種數量或事物按照明確的方法和步驟發展、變化后的結果，又要追溯它的起始狀態，便適合用“倒推”的策略加以解決。

5.典型例題分析。

師：剛才我們研究的是一個數量發生變化的情況，如果有兩個數量發生變化呢？

（1）觀察：從圖中你知道哪些數學信息？

（2）提問：在倒果汁的過程中，什么沒有變？什么發生了變化？它們各變化了幾次？這道題可不可以倒推？

（3）思考：請借助表格用倒推的策略來解決問題。

（4）列式解答：

400÷2=200（毫升）

甲杯：200+40=240（毫升）

乙杯：200-40=160（毫升）

（5）回顧：我們是怎么倒推的？

（6）比較：對比一下剛才的兩道題，有什么異同？

評析：例題分析由易到難，循序漸進，遵循了學生的認知起點和思維規律。從一個數量的兩步倒推，到兩個數量的一步倒推，繼續強化倒推策略的特征——已知現在，要求原來。讓學生在變化中尋求不變：什么沒有變？什么發生了變化？它們各變化了幾次？并通過課件演示，形象揭示數量變化的過程，使學生進一步產生需要倒推策略的心理需求，再次體驗“倒推”是解決問題的策略。另外，通過填表反思“倒回去”的過程，利用加法或減法計算倒入和倒出的問題，能進一步理解“倒回去”的意思，體會它對解決問題的作用；而通過比較兩個例題的異同點，更加突出了解決問題方法的特點，以及對這種方法的感受。這樣，從解決問題的過程中提煉了思想方法。

三、在拓展延伸中運用策略

1.專項練習。

（1）小娟和小磊做紙鶴，裁紙要用5分鐘，折紙鶴要用25分鐘，把紙鶴用線穿成一串要用10分鐘。如果要在上午10時全部完成，他們最遲從什么時間開始動手做？

（2）螞蟻從蟻巢出發，先向西走5格，再向南走1格，再向西走3格，最后向南走3格找到食物，你能幫螞蟻找到家嗎？（演示課件）

學生獨立完成后，展示、反饋學生的練習情況。

2.對比練習。

（1）小軍收集了52張畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，小軍還剩多少張畫片？

（2）小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原有多少張畫片？

提問：上面兩道題，哪一題需要用“倒推”解決？理由是什么？

學生獨立解答后，重點反饋第（2）題。

預設：①25×2+1=51（張），②（25+1）×2=52（張）。

反饋：老師發現了不同的答案，究竟哪個正確呢？（引導學生檢驗）為什么要先加上1再乘2？

指出：其實，這道題還可以用線段圖來幫助理解。從圖上也可以清楚地看出，25并不是原有張數的一半，（25+1）才是原來的一半。或者把“一半還多1張，剩25張”假設為“送一半，剩（25+1）張。”

小結：看來運用“倒推”策略是有講究的，不僅要考慮變化過程，還要注意倒推的順序。

3.拓展延伸。

用“倒推”策略解決經典名題《李白喝酒》。

詩仙李白善飲，詩圣杜甫有詩為證——“李白斗酒詩百篇”。唐朝天文學家、數學家張遂以“李白喝酒”為題材編了一道題：“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”

同學們可能已經聽出來了，老師講的故事和古詩中隱藏著兩個數學問題，知道答案嗎？

評析：鞏固部分分三個層次進行，其中對比練習中的第（2）題是這節課的一個難點，較例題復雜，學生在理解上也有一定的困難。這里面其實滲透了倒推與多1少1的動態平衡思想。幾乎大多數學生都會出現像第一種列式那樣的錯誤，學生在理解的過程中其實還沒有真正掌握這種復雜的問題是不能輕易改變倒推順序的，教學中通過引導嘗試、驗算、討論，加上教師因勢利導進行點撥，并借助于線段圖列出小軍畫片的變化過程，學生也就理解了計算過程，明白了錯在哪里，同時也意識到有序整理、按序倒推、順序檢驗的重要性。通過對比練習讓學生從順向和逆向兩種情境中體驗“倒推”策略的本質特征，促使學生的數學思維進一步延伸。

四、在回顧提升中鞏固策略

談話：今天這節課學習了“倒推”這一解決問題的策略，誰能告訴老師，可以倒推解答的題目有什么特點？倒推時要注意什么？

指出：倒推很多時候只是一種特殊的思考方法，很管用。但是，有些現象是無法倒回去的，比如時光，既然無法讓時光倒流，那就讓我們從現在開始，認認真真做好每一件事，快快樂樂過好每一天。

總評：這是一節策略教學研究課，成功之處有以下三個方面：

1.典型例題，突出結構特征。教師在教學例題后，除了讓學生反思學習過程外，還注意讓學生說說例題的特點，有利于學生掌握這一類題的思考方法。在讓學生經歷建模過程，強調體驗的同時，對方法的探究、梳理和提煉，是讓學生扎實“四基”的重要手段，策略教學如果沒有一類典型題的支撐，不讓學生明白這類典型題的特征，也就無法讓學生掌握運用策略解決問題的方法。

2.方法提示，引領自主學習。為達到預期的效果，教師在教學中運用這樣的語言引領：為了清楚地看出題中數量之間的關系，可以將題中的信息進行整理，可用摘錄重點語句加箭頭的方法，也可以用方框加箭頭的方法。從課堂實際效果來看，這樣做是有效的。

3.注意比較，發展數學思考。培養學生的數學思考是數學教學的重要任務，教學中，教師除了引領學生“說數學”外，還注重比較，讓學生從比較中感悟，從比較中理解。例如，在開始的兩個框圖出現后進行比較，讓學生感悟怎樣的框圖可以用倒推的方法解決問題，為后面的學習提供思維支撐；在學生學習完兩個例題后，教師再次組織學生比較兩道題有什么相同的地方，讓學生進一步明白，怎樣的題目適宜用“倒推”的策略來解決。

在“算法多樣化”處理上，教師要注意如下幾點：一是要分析學生出發方法的思維水平，如果較高層次的思路已經出發，而學生對于低層次的想法也沒有想到，這時教師沒有必要引導學生說出低層次的思維方法。二是要在多種算法出來后，組織學生比較，引導得出基本的學生普遍適用的方法。三是要突出基本思路的回歸，讓學生在操作、說理、交流中學會基本的思考方法。

◇責任編輯：谷曉華◇