深入還需淺出

教材在“因數(shù)與倍數(shù)”概念教學(xué)編排中，都是借助直觀材料引出乘法算式并直言因數(shù)與倍數(shù)關(guān)系來(lái)揭示概念。這樣的編排思路，確立了以“說(shuō)”為主線的概念建構(gòu)教學(xué)主體框架：1.范說(shuō)。通過(guò)具體情境得出一組乘法算式后，教師點(diǎn)擊一道乘法算式示范描述，揭示因數(shù)、倍數(shù)概念。2.仿說(shuō)。在范說(shuō)基礎(chǔ)上，學(xué)生模仿描述余下算式的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。3.例說(shuō)。學(xué)生說(shuō)乘法算式，舉例描述因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。4.變說(shuō)。通過(guò)各種變式體會(huì)因數(shù)與倍數(shù)的相互依存關(guān)系，加深概念認(rèn)識(shí)。在這種主題思路相同的背景下，基于學(xué)生對(duì)一課多式的教學(xué)設(shè)計(jì)加以分析比較更具意義，更能增進(jìn)我們對(duì)“以學(xué)定教”理念的理解。下面結(jié)合三位教師“因數(shù)與倍數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，談點(diǎn)思考。

一、“淺出”掩蓋了什么？

【設(shè)計(jì)一】

1.出示由12個(gè)相同的小正方形拼成的各種長(zhǎng)方形，引出乘法算式3×4=12，2×6=12，1×12=12。教師以2×6=12為例，示范引述三個(gè)數(shù)之間因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，組織學(xué)生通過(guò)集體說(shuō)、同桌說(shuō)、指名反饋說(shuō)等形式重復(fù)模仿口述。

2.揭題板書(shū)“因數(shù)與倍數(shù)”，指出研究范疇“只研究整數(shù)，不包括0”。

3.學(xué)生模仿口述余下的兩道乘法算式3×4=12、1×12=12中因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。

4.出示3，5，9，10，18等數(shù)，組織學(xué)生找兩個(gè)數(shù)之間的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，借助9是3的倍數(shù)，卻是18的因數(shù)，強(qiáng)調(diào)因數(shù)和倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

5.提問(wèn)：18的因數(shù)除了3和9還有哪些？進(jìn)入找因數(shù)教學(xué)板塊（略）。

在設(shè)計(jì)一中，教師提供了兩組材料進(jìn)行教學(xué)：先提供一組乘法算式，通過(guò)教師的一題范述——學(xué)生重復(fù)跟述——兩題仿述的程序完成“范說(shuō)”、“仿說(shuō)”層面的概念認(rèn)識(shí)；再提供一組有聯(lián)系的非零自然數(shù)，組織學(xué)生尋找兩個(gè)數(shù)之間的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，體會(huì)相互依存關(guān)系，完成“變說(shuō)”層面的概念認(rèn)識(shí)。整個(gè)概念建構(gòu)過(guò)程看似明快、流暢，但無(wú)法掩蓋以下幾個(gè)問(wèn)題：1.教師的“范說(shuō)”直接告知，教學(xué)方式本身牽制痕跡較濃；教師只安排了三道乘法算式供學(xué)生重復(fù)跟述、仿述，沒(méi)有安排學(xué)生自主地“例說(shuō)”，感知量偏少、不充分；沒(méi)能經(jīng)歷“從例到類(lèi)”的概念抽象概括過(guò)程，是否落入了倉(cāng)促單薄的程式化教學(xué)？2.提供的素材回避了原來(lái)乘除法學(xué)習(xí)中的因數(shù)、倍數(shù)和本節(jié)課因數(shù)與倍數(shù)概念的區(qū)分，對(duì)研究范疇僅一句話(huà)帶過(guò)，對(duì)學(xué)生概念構(gòu)建有無(wú)影響？有的教師認(rèn)為，研究范疇是一種人為規(guī)定，只需加以說(shuō)明無(wú)需強(qiáng)調(diào)，否則成了“搞腦子”現(xiàn)象。筆者以為，判斷一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性關(guān)鍵在于是否基于學(xué)生的視角有序開(kāi)展教學(xué)，是否促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展。因此，我們必須直面學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難和學(xué)習(xí)需求，這是有效教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)。

那么，關(guān)于因數(shù)、倍數(shù)概念，學(xué)生有怎樣的前認(rèn)知呢？著名特級(jí)教師吳正憲研究團(tuán)隊(duì)對(duì)此作了學(xué)習(xí)前測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)因數(shù)與倍數(shù)的概念并不陌生，把因數(shù)、倍數(shù)割裂成孤立的運(yùn)算得出結(jié)論（如因數(shù)存在于整數(shù)、小數(shù)乘法運(yùn)算中；倍數(shù)存在于整數(shù)、小數(shù)除法中，商相當(dāng)于因數(shù)），學(xué)生對(duì)于因數(shù)、倍數(shù)概念是模糊的，甚至是混亂的。學(xué)習(xí)后測(cè)效果又如何呢？結(jié)合畢業(yè)試題中的一道判斷題進(jìn)行抽樣分析（樣本數(shù)為270份），題為：“因?yàn)?.8×3=2.4，所以2.4是0.8的倍數(shù)”，抽樣得分率僅為52.8%，反映出多數(shù)學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)束之際仍未能很好地建構(gòu)因數(shù)與倍數(shù)的概念，把“倍數(shù)”和“倍”混為一談。學(xué)習(xí)前測(cè)、后測(cè)都顯示，學(xué)生對(duì)因數(shù)、倍數(shù)概念的學(xué)習(xí)遇到了來(lái)自先前學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)的干擾，對(duì)“因數(shù)、倍數(shù)意義和兩者相互依存關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解”是本課的一個(gè)教學(xué)重難點(diǎn)。

基于上述分析，本課教學(xué)主要解決兩個(gè)核心疑難問(wèn)題：一是如何強(qiáng)化樹(shù)立“非零自然數(shù)”的研究范疇意識(shí)；二是如何加深“因數(shù)、倍數(shù)是一種關(guān)系而不是孤立運(yùn)算中的某個(gè)數(shù)”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。設(shè)計(jì)一給予了第二個(gè)疑難問(wèn)題較充分的關(guān)注，但對(duì)第一個(gè)問(wèn)題僅一句說(shuō)明帶過(guò)，顯然學(xué)生感悟不深刻，因數(shù)、倍數(shù)概念構(gòu)建處于一種淺化的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

二“深入”如何“淺出”？

【設(shè)計(jì)二】

1.根據(jù)師生關(guān)系談話(huà)切入“在數(shù)學(xué)上數(shù)與數(shù)之間也有相互依存關(guān)系”，揭題板書(shū)“因數(shù)與倍數(shù)”。思考：你認(rèn)為今天的學(xué)習(xí)可能與哪些知識(shí)有關(guān)？

2.根據(jù)學(xué)生對(duì)乘法、除法相關(guān)聯(lián)系的思考，組織學(xué)生列舉乘除法算式2×5=10，10÷2=5，教師補(bǔ)充1.5×3=4.5，3×0=0。

3.組織學(xué)生試說(shuō)什么是因數(shù)、倍數(shù)，學(xué)生認(rèn)為乘法里存在因數(shù)，除法算式里存在倍數(shù)。

4.出示由12個(gè)相同的小正方形拼成的各種長(zhǎng)方形，引出乘法算式3×4=12、2×6=12、1×12=12，教師以2×6=12為例，引述三個(gè)數(shù)之間因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生模仿口述完成余下兩個(gè)算式中因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。

5.質(zhì)疑：兩個(gè)數(shù)相乘得12的算式還有嗎？結(jié)合學(xué)生列舉的算式10×1.2=12組織討論。

6.切換到先前的乘除法算式2×5=10、10÷2=5，說(shuō)說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。質(zhì)疑：1.5×3=4.5、3×0=0可否說(shuō)出因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。

7.組織學(xué)生口頭舉例乘法算式，介紹因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系，教師補(bǔ)充出示a×b=c，組織學(xué)生口述因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。質(zhì)疑：a、b、c是否可以是任何數(shù)？補(bǔ)充出示，a、b、c均為整數(shù)，且不等于0。

8.教學(xué)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)（略）。

應(yīng)該說(shuō)，設(shè)計(jì)二較好地落實(shí)了“關(guān)注學(xué)情，以例規(guī)例”的概念構(gòu)建思路：先讓學(xué)生試說(shuō)什么是因數(shù)、倍數(shù)，進(jìn)行學(xué)情探底，再通過(guò)直觀材料進(jìn)行概念范示、判斷區(qū)分澄清原有認(rèn)識(shí)，以求清晰概念。同時(shí)，通過(guò)仿說(shuō)、例說(shuō)、變說(shuō)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念抽象概括過(guò)程。

當(dāng)然，這一教學(xué)設(shè)計(jì)的不足之處也很明顯，就是過(guò)于“深入”卻不能“淺出”，主要體現(xiàn)在：1.在以例規(guī)例過(guò)程中，新舊認(rèn)知沖突交互切換過(guò)密，概念構(gòu)建顯得有些“繞”，流程生澀不順暢。如在“舊知經(jīng)驗(yàn)激發(fā)——直觀材料概念范例引出——辨析區(qū)分反例——舉正例概括”流程中，學(xué)生概念感知一直處于“反例”、“正例”交替跳躍狀態(tài)，不利于描述性概念的感知穩(wěn)固。“1.5×3=4.5”、“3×0=0”的補(bǔ)充和概念抽象概括“a×b=c”都是由教師全盤(pán)托出，沒(méi)有經(jīng)歷學(xué)生的自主思考，銜接略顯突兀生硬。2.集中強(qiáng)化了研究范疇的非零自然數(shù)感知，對(duì)“因數(shù)、倍數(shù)是一種關(guān)系而不是孤立運(yùn)算中的某個(gè)數(shù)”沒(méi)有進(jìn)行有力澄清。在舊知探究中，學(xué)生認(rèn)為“乘法中存在因數(shù)，除法中存在倍數(shù)”，這是新舊概念區(qū)分的重要認(rèn)知點(diǎn)，而跟進(jìn)的后續(xù)教學(xué)設(shè)計(jì)只注重了“非零自然數(shù)”的澄清，對(duì)第二個(gè)核心疑難問(wèn)題（新概念的“依存關(guān)系”與原認(rèn)知的“某個(gè)數(shù)”）沒(méi)有充分展開(kāi)，因數(shù)、倍數(shù)概念構(gòu)建顯得厚此薄彼、虎頭蛇尾。

【設(shè)計(jì)三】

1.出示小男孩圖像信息，組織學(xué)生猜測(cè)老師與小男孩是什么關(guān)系，在得出“母子關(guān)系”結(jié)論后，組織學(xué)生討論自己和男孩之間的“姐弟關(guān)系”、“哥弟關(guān)系”。小結(jié)：當(dāng)其中一個(gè)對(duì)象發(fā)生變化，兩個(gè)人之間的關(guān)系也隨之發(fā)生變化。

2.借助小男孩用12個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼長(zhǎng)方形的情境過(guò)渡，組織學(xué)生拼擺長(zhǎng)方形，引出乘法算式3×4=12、2×6=12、1×12=12。

3.談話(huà)切入：在這些圖形和式子中蘊(yùn)含著我們今天要研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

揭題板書(shū)：因數(shù)與倍數(shù)。指出研究范疇“只研究整數(shù)，不包括0”。

討論：看得懂嗎？也就是不研究什么？

4.出示乘法算式：2×6=12。

討論：誰(shuí)可能是誰(shuí)的因數(shù)、倍數(shù)？集體口述該算式因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系后，組織學(xué)生完成余下兩道乘法算式的口述。

5.組織學(xué)生自己寫(xiě)乘法算式，向同桌舉例說(shuō)明因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系。

反饋討論：這樣的乘法算式說(shuō)得完嗎？引導(dǎo)學(xué)生用字母a×b=c來(lái)概括。

討論：a、b、c可以是任意數(shù)嗎？當(dāng)它們都是非零自然數(shù)時(shí)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)？

6.判斷練習(xí)。

（1）12是24的因數(shù)。

判斷后思考：這句話(huà)讓你想到了哪個(gè)式子？根據(jù)12×2=24，你還能想到哪兩個(gè)數(shù)之間的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系？

（2）因?yàn)?.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍數(shù)。

在學(xué)生得出“因?yàn)槌朔ㄋ闶街谐霈F(xiàn)的是小數(shù)”基礎(chǔ)上，回望點(diǎn)擊“只研究整數(shù)，不包括零”的板書(shū)，追問(wèn)：為什么有同學(xué)認(rèn)為是對(duì)的？結(jié)合學(xué)生回答點(diǎn)擊：這里的倍數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系和以前所學(xué)的“幾倍”有所不同。

（3）18是倍數(shù)。

在學(xué)生得出“沒(méi)有講清楚18是誰(shuí)的倍數(shù)”的基礎(chǔ)上，指出：因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系是相互依存的關(guān)系。追問(wèn)：18是誰(shuí)的倍數(shù)呢？結(jié)合學(xué)生回答：18是3、6的倍數(shù)，提問(wèn)：你想到了哪道乘法算式？引述：根據(jù)3×6=18找出18的兩個(gè)因數(shù)，進(jìn)一步提問(wèn)：你能找出18的所有因數(shù)嗎？（切入找因數(shù)教學(xué)環(huán)節(jié)）

與設(shè)計(jì)二相比，設(shè)計(jì)三在許多教學(xué)環(huán)節(jié)上與之較為相像，但在貫穿“關(guān)注學(xué)情，以例規(guī)例”的概念構(gòu)建思路時(shí)，卻能基于學(xué)生緊扣兩個(gè)核心疑難問(wèn)題“深入淺出”開(kāi)展教學(xué)。首先，對(duì)第一個(gè)難點(diǎn)“因數(shù)、倍數(shù)研究范疇”進(jìn)行分散教學(xué)：第一次在因數(shù)、倍數(shù)概念揭示之前，板書(shū)出示研究范疇，并通過(guò)追問(wèn)“看得懂嗎？也就是不研究什么？”給學(xué)生一個(gè)初步的感知；第二次在概念抽象概括中，對(duì)算式a×b=c中的三個(gè)數(shù)的范疇進(jìn)行討論，再度感知；第三次在概念內(nèi)化辨析中，對(duì)0.9×2=1.8進(jìn)行質(zhì)疑，對(duì)研究范疇加以回顧。其次，對(duì)第二個(gè)難點(diǎn)“因數(shù)、倍數(shù)是一種相互依存的關(guān)系”進(jìn)行分層關(guān)注：課前談話(huà)通過(guò)“母子關(guān)系”、“哥弟關(guān)系”討論，使學(xué)生感知：對(duì)象變了，相應(yīng)的關(guān)系也隨之發(fā)生變化，為“依存關(guān)系”認(rèn)識(shí)進(jìn)行鋪墊；在0.9×2=1.8判斷中，追問(wèn)：為什么有同學(xué)認(rèn)為是對(duì)的？點(diǎn)明此倍數(shù)非彼倍數(shù)，進(jìn)行澄清；在18是倍數(shù)的判斷中，再次強(qiáng)調(diào)了相互依存關(guān)系。最后，在概念教學(xué)中，教師非常注重“關(guān)系”和“乘法算式”之間的切換性追問(wèn)，如，12和24的因數(shù)，讓你想到了哪個(gè)式子？根據(jù)12×2=24，你還能想到哪兩個(gè)數(shù)之間的因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系？又如，學(xué)生提到18是3、6的倍數(shù)，教師馬上提出追問(wèn)：你想到了哪道乘法算式？這有助于增進(jìn)學(xué)生對(duì)“因數(shù)、倍數(shù)關(guān)系”和“乘法算式”之間的內(nèi)聯(lián)意識(shí)，強(qiáng)化了“因數(shù)、倍數(shù)概念”，建立于“式”的感知表象，從而加深依存關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解。

一個(gè)優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要善于“深入”，更要善于“淺出”。即：深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難和學(xué)習(xí)需求，并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)有序化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。就“因數(shù)與倍”概念構(gòu)建而言，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)思考的核心問(wèn)題是面對(duì)這個(gè)概念，學(xué)生已經(jīng)知道了哪些？會(huì)遇到怎樣的學(xué)習(xí)困難？如何幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)中的困難？前兩問(wèn)是“深入”讀懂學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，后一問(wèn)是探尋“淺出”的教學(xué)路徑。

◇責(zé)任編輯：谷曉華◇