對一道習題教學的改進與思考

蘇教版四年級下冊教材有如圖1所示的一道習題。

圖1

一、片段回放

我們備課組對這道題所進行的數次教學改進，引起了我對習題教學的思考。

以下是第一位執教者的教法。

【片段一】

師：怎么理解題目的意思？

生1：就是說三段的長度總和應該是14厘米。

生2：同時這三段還要滿足三角形三條邊之間的關系——兩條短邊之和要大于最長邊。

師：圖1中給出了一種剪法，你們還有其他不同的剪法嗎？

生1：剪成6厘米、6厘米和2厘米。

生2：剪成5厘米、5厘米、4厘米。

生3：剪成6厘米、4厘米、4厘米。

（師逐一板書）

師：大家看看這幾種剪法符合要求嗎？

生：三段的和都是14厘米，而且兩條短邊的和大于最長邊，所以都是對的。

師：怎么想到這幾種不同的剪法的呢？

生1：我看到圖中的三條邊是6厘米、5厘米、3厘米，就想到把短的兩條邊中的一條增加1厘米、另一條減少1厘米，就得到了6厘米、6厘米、2厘米，再檢查一下是符合要求的。

師：這是一種巧妙的方法，把原來的三條邊調整一下，就可以得到幾種不同的剪法，但調整之后要算一算是否符合三角形三條邊之間的關系，大家看看后面的兩種剪法也可以通過這樣的方法得到嗎。

……

翻開教學參考書，這道題練習的目的是“通過不同的剪法促進學生對三角形三條邊長度關系的思考”。在本片段中，教師通過點撥性的語言，引導學生理解題目的意思，把學生的思考點集中到“三段的總和是14厘米”以及“兩條短邊之和要大于最長邊”上來，并對學生“巧妙”的“調整”的思考方法進行了交流與總結，似乎達成了練習的目標。但是聽課老師們普遍感覺，學生的思維并未得到有效地激發，對于如何“剪”才能符合要求，并沒有從更全面、更根本的角度去理解與思考，這種“調整”的方法僅僅是一種“小聰明”，而不是“大智慧”，如果沒有圖1中的剪法，那么“調整”則無從談起。如何找到思維的“根”，從而“生發”出不同的剪法，進而將學生的思維水平提升至“思想方法”的層面上？經過備課組的交流與思考，第二位執教者改進了教法。

【片段二】

學生交流三種剪法后，教師引導討論。

師：怎樣才能很完整地把各種剪法都找出來呢？這需要我們有序地思考。

生：可以先把最長邊定下來，然后再定另外兩條邊。

師：思路很好，大家看最長邊可以是多少？

生：最長邊要比7小，因為如果最長邊是7厘米的話，那么另外兩條邊的和就是14-7=7（厘米），兩條短邊之和等于最長邊是不能圍成三角形的。

師：能比7大嗎？

生：不能，因為最長邊如果比7厘米大的話，另外兩條邊的和就會比7厘米小，兩條短邊之和小于最長邊也不能圍成三角形。

師：那么，最長邊只要比7厘米小就行了嗎？

生：也不能太小，如果最長邊是4厘米的話，那么三條邊的和最多是12厘米，也不符合要求。

師：所以，最長邊只有兩種情況？

生：可以是6厘米，也可以是5厘米。

師：最長邊是6厘米時，另外兩條邊可以是多少？

生：可以是6厘米和2厘米，也可以是5厘米和3厘米，還可以是4厘米和4厘米。

師：最長邊是5厘米時呢？

生：另外兩條邊只能是5厘米和4厘米。

師：通過這樣的列舉，我們就找出了所有的剪法。你有什么體會？

生：先按最長邊的幾種情況分類，再在每一類中按照順序列舉出另外兩條邊的情況。

生：我覺得最長邊一定要比吸管總長度的一半短才行，但也不能太短。

……

在本片段中，教師的一句話：“怎樣才能很完整地把各種剪法都找出來呢？這需要我們有序地思考。”將學生的思維寬化至全面考慮各種剪法并提升至有序思考的思想層面，引導學生將思維的關注點聚焦至最長邊上，在對最長邊可能性的思考中達到“對三角形三條邊的關系”的深刻理解，進而考慮另外兩條邊的情況，完整地列舉出了所有的剪法。整個思維過程充滿了數學味，學生對于先分類、再一一列舉的有序思考方法達到了充分的理解。但是，聽課時我們發現，課堂氣氛較為沉悶，相當多學生思考的積極性并不高，處于一種被教師牽著走的狀態。原因何在？還是沒有能夠找到思維的“根”，所有的交流與思考都源于老師的一句引導性語言，沒有學生發自內心的真實體驗，如無本之木，學生的思維無法自然而然地生發開去，教學效果還是大大地打了折扣。第三次執教這道習題時，我們決定從學生的活動經驗出發，引發學生思考。

【片段三】

每個學生準備了五根同樣長的吸管和一把剪刀。

師：同學們，你能把每根吸管剪成三段，圍成一個三角形嗎？

（生動手操作，并將圍出的三角形放在桌上）

師：有沒有同學剪成三段之后，發現不能圍成三角形？

生：有！

師：你們知道是什么原因嗎？

生：因為兩條短邊之和小于或者等于最長邊。

師：有什么辦法保證你剪出的三段能圍成三角形呢？

生：我盡量讓三段的長度接近就可以了。

師：也就是說最長的那一段不能太長。那么最長的一段的長度有沒有一個范圍呢？

生1：我覺得最長的一段不能超過吸管的一半，如果超過了吸管的一半，那么短的兩段長度之和就會小于最長一段。

生2：也不能等于吸管長度的一半，必須要小于吸管長度的一半，否則兩段短的長度與最長的一段相等也是不行的。

師：分析得非常有道理，那么是不是小于吸管的一半就可以了呢？

生1：不是。最長邊的長度不能小于吸管的三分之一，要不然另外兩條邊中至少有一條邊的長度就會超過它，它就不是最長的了。

生2：而且，如果最長的一段不到總長的三分之一，那么另外兩條也不到三分之一，三段的總和就不是吸管的長度了。

師：很好，也就是說最長的一段長度應該在什么范圍之內？

生：吸管總長的一半到三分之一之間。

師：對，在這個范圍內的長度都可以作為最長的一段。先剪好最長的一段后，另外兩段還有什么要求嗎？

生1：另外兩段隨便剪開都可以。

生2：但是剩下的兩段都不能超過第一段，因為第一段已經作為最長的了。

師：大家想想看，能有多少種剪法啊？

生：無數種。

（師出示改編過的習題：把一根14厘米長的吸管剪成三段，用線串成一個三角形，如果要求三段的長度都是整數厘米，那么有幾種剪法？）

（生獨立思考解答）

師：你們是怎么思考的？

生：先確定最長的一段，必須小于14厘米的一半7厘米，也必須大于14厘米的三分之一，14÷3=4……2，那么就應該大于4厘米。所以最長的一段只能是6厘米或5厘米。然后再把另外兩條短邊列舉出來。

師：怎么列舉呢？

生：按照順序列舉就不會漏掉了，最長邊是6厘米時，另外兩邊可以是以下三種情況：①6厘米和2厘米，②5厘米和3厘米，③4厘米和4厘米。最長邊是5時，另外兩條邊只能是5厘米和4厘米這一種情況。

師：先確定范圍，再分類，最后每一類里再有序地列舉，這樣就能找出所有符合要求的剪法。當我們遇到一個問題有很多種可能的情況時，用這樣分類列舉的方法非常好，它可以使我們既不重復也不遺漏地找出所有的可能。

……

本片段中，學生首先動手操作將吸管剪成三段圍成三角形，由于每個學生都準備了五根吸管剪了五次，而且每次剪完后無法再恢復重剪，所以在此過程中積累了較為豐富的成功和失敗的活動經驗，在這些鮮活經驗的基礎上展開討論與思考，從總結失敗的原因到交流成功的體驗，學生對于三角形三條邊之間關系的理解更加深刻，并且很自然地進入對最長邊長度范圍的討論中，進而發現在實際操作中，由于沒有對邊長為整數厘米的要求，剪的方法是無數的。在活動經驗和交流思考的基礎上，再出示經過改編的教材習題，這時學生的思維脫離了感性經驗，完全從數學思想方法的層次上去進行考慮，從確定范圍到分類再到一一列舉，最后通過教師點睛式的總結性語言，將學生的思維水平進一步提升，整個教學過程，一氣呵成，自然連貫，學生興趣盎然，思維活躍。

二、教學思考

教科書中的習題大部分是以靜態形式呈現的，以鞏固和訓練學生基礎知識、基本技能為主。教師在教授習題時，如果按部就班、照本宣科、就題講題，不但學習效果差，還會降低學生學習數學的興趣。這就需要教師改變習題的靜態呈現方式，創設必要的數學活動，以數學活動經驗激活學生的數學思維，提煉出習題背后豐富的數學思想方法內涵，提高習題的“附加值”，從而使得習題教學實現由“雙基”目標向“四基”目標的提升。

1.積累活動經驗，生發數學思考。

數學課堂是學生積累數學活動經驗的主要平臺。要使學生真正理解數學知識，建立對數學現實和數學學習的直覺，感悟數學的理性精神，就應該關注學生數學活動經驗的積累與提升，賦予數學活動經驗“生長的力量”。

片段一和片段二的教學實踐證明，數學知識、方法必須由學生在實踐活動中理解、感悟、發展，而不是單純依靠教師的講解、引導去獲得，這種講解和引導由于沒有在經歷中積累、在體驗中內化、在反省中提升數學活動經驗的基礎，如同無本之木一樣毫無生機，顯得蒼白無力。

而在片段三的教學中，教師先不呈現教材上的習題，而是先向所有學生提供充分從事數學活動的機會：將吸管剪開并圍成三角形。在經歷“剪”和“圍”的過程中，學生積累了大量成功和失敗的經驗，這些活動經驗構成了下面教學環節中回憶、聯想和直觀認識的基礎，成為了進一步思考和提升的素材，以此為根，最終可以讓學生形成全面的數學思考。

2.反思數學思考，提煉數學思想。

學生經歷數學活動所獲得的數學活動經驗，往往是零散的、模糊的、粗淺的、浮于表面的，教師如果不能有意識地引導學生去內省、總結，這部分經驗很可能就流失了。所以教師必須引導學生對活動經驗進行反思提煉，使之條理化、清晰化、系統化。

在片段三的教學中，當學生積累了一定的經驗后，教師及時引導學生交流自己失敗的教訓和成功的經驗，自然地引入對最長邊的范圍的討論中，學生在交流的過程中，不僅使得自己積累的經驗外顯，同時也從別人那里獲得了間接的經驗，并使其在碰撞中不斷改造自己的經驗，完善自己的經驗體系。在充分交流反思的基礎上，學生對活動中積累的經驗進一步深加工，進一步提升，并從中抽象出含有策略性、模式性成分的思維模式、思維方法——“一一列舉”，從而將學生的思維提升至思想方法層面上。這時再呈現改編過的教材習題，學生的理性層面思考則變得“如同呼吸一樣自然”，“四基”目標順利達成。

責任編輯：趙關榮