杜甫的數學知識

杜甫有一首《不歸》詩，懷念一位從弟：

河間尚征伐，汝骨在空城。

從弟人皆有，終身恨不平。

數金憐俊邁，總角愛聰明。

面上三年土，春風草又生。

宋代蔡夢弼《草堂詩箋》解釋其中“數金”一語：“數，所具切，計也。謂幼之時識錢數也。”清仇兆鰲注引明胡夏客說：“數金，用‘河間姹女數錢’語，以應河間。”如果按蔡氏所說，“數金”就是年幼時識錢數，未免有點太小瞧這位從弟了。“河間姹女工數錢”則是漢代童謠（見《后漢書·五行志》），唐人常用此典來歌詠妓女，原文也不能改成“數金”，應該和這首詩沒有關系。實際上，詩中此句是講從弟“總角”時學習聰穎，“數金”是講他的計算能力。《九章算術》卷七有這樣的例題：“今有共買金，人出四百盈三千四百，人出三百盈一百，問人數、金價各幾何？答曰：三十三人，金價九千八百。”金不僅是交易物，而且用于計算物值、表示物價，所以常常被用來當作演算例題。杜甫和我們今天的看法差不多，認為數學能力可以代表一個人的聰明程度。我們從這首詩可以了解到唐代士人接受數學教育的情況。

那么，杜甫本人的數學能力達到什么水平呢？下面從他的文章里找一些證據。肅宗上元二年（761），杜甫在西川蜀州為唐興縣令王潛作《唐興縣客館記》，結尾說：

自辛丑歲秋分大馀二，小馀二千一百八十八，杜氏之老記已。

這里所說的秋分大馀、小馀，是表示節氣的干支日和時刻。大馀表示干支日，小馀表示時刻。由于唐代多次改歷，不同歷法設定的日分數不同，因此推算出的小馀數值也不相同。根據杜甫提供的大馀、小馀數值加以驗算，結果證明他所依據的是唐玄宗開元年間頒行的《大衍歷》。

古代歷法都會設定一個歷法起始時間，稱上元。《大衍歷》給出自上元至開元十二年（724）的年數（稱積算）為96961740年。據此推算，自上元至761年的積算為96961777年。歷法還要設定一個日分數，《大衍歷》設定的日分數（稱通法）為3040分。一個回歸年（即二十四節氣一循環）為365日，所含日分共1110343分（稱策實）。

用策實乘以積算，所得結果稱作中積分，即從上元開始到運算所求這一年的天正冬至的總日分。到761年應為：

96961777×1110343=107660830359511

以中積分除以通法3040，所得結果即是積日：

107660830359511÷3040=35414746828.78651（日）

積日滿60（即干支一周，《大衍歷》稱為爻數）即除去，剩下的馀數稱作大馀。小馀則是不滿一日日分數（在《大衍歷》中是3040）的馀數。在此例中，積日/60的整數部分為590245780，這樣就可以得出761年冬至的大、小馀：

35414746828.78651（積日）-590245780×60

=35414746828.78651-35414746800

=28.78651

所得結果中的整數28，即是大馀。根據大馀數可以求得干支日，不過要從甲子次日起算，數到28是壬辰，也就是此年冬至日的干支。所得結果中的小數部分即是小馀：0.78651×3040=2390.9904（日分）。

求出冬至日的大馀、小馀，然后可以根據“三元之策”推求其他節氣的大馀、小馀。《大衍歷》給出的“三元之策”公式是：“三元之策，一十五；馀，六百六十四；秒，七。”（見《舊唐書·歷志》）即每一個節氣所含日數為15（參見張培瑜等《中國古代歷法》第八章《大衍歷》，中國科學技術出版社2008年版）。

從冬至到秋分共18個節氣，用此年冬至小馀加18個節氣整日之外的馀數：

滿3040為一日，除去：

14348-3040×4=2188

所得結果2188，就是此年秋分小馀。

冬至大馀加18個節氣整日數，再加小馀滿整日數的4日：

28+15×18+4=302

滿60（爻數，干支一周）即除去：

302-60×5=2

得此年秋分大馀2。據此推算出此年秋分在八月十三日丙寅。

以上演算結果與杜甫給出的761年秋分大、小馀數據完全吻合。肅宗時期已頒行《至德歷》，杜甫特意給出的這兩個數據應當是他據《大衍歷》自己推算出的結果，其中需要進行高位數的四則運算和相當復雜的分數運算。杜甫是借用這種方式來表達他對開元盛世的懷念。這表明他年輕時曾學習過歷法，并掌握其中基本的演算方法。

杜甫還作有《唐故范陽太君盧氏墓志》，盧氏是他的繼祖母，也就是他祖父杜審言的繼室。文中記述盧氏下葬情況：

將入著作之大塋，在縣首陽之東原，我太君用甲之穴，禮也。……塋內西北去府君墓二十四步，則壬甲可知矣。

在此大塋中，府君（杜審言）葬壬穴，盧氏后葬取甲穴，所采用的是唐代流行的六甲八卦冢葬法。其法是將墓地橫向、縱向皆七分之，共得四十九穴，中心一穴稱地心明堂。其外三重，為天、地、人穴。帝王用天穴（中八穴），諸侯用地穴（次十六穴），卿大夫以下用人穴（最外一重）。人穴依二十四方位排列，但其中只有甲、丙、庚、壬四穴為吉穴，其他二十穴不可用。杜審言取壬穴，是因為杜姓屬于五姓（宮商角徵羽）中的商姓，利壬穴。壬在北，甲在東，府君墓恰好在盧氏墓西北。

按照葬法，取穴不但要合甲丙庚壬，而且要與十二建除中的“滿定成開”相交。其法是將墓地橫向、縱向皆十三分之（之所以十三分，是為了留出地心明堂，所以只能取單數），從四個方向起建除（建除又與神煞、干支配合）。在十二建除（建、除、滿、平、定、執、破、危、成、收、開、閉）中，滿、定、成、開分別位于第三、五、九、十一位。這樣，從四個方向分別起建除，就會在由每個方向而來的第三、五、九、十一位上形成四個交匯點，滿足“滿定成開”相交的要求。這四個交匯點恰好處在甲丙庚壬四個方位的延長線上，也就是甲丙庚壬四穴的取穴處。宋代《地理新書》卷十三有“禽交吉穴之圖”：

圖中虛線表示七分分之，實線表示十三分之。下方（北）壬所相對、左方（東）甲所相對兩點，即分別是壬、甲二穴的取穴處。杜甫文中所說“二十四步”，即是這兩點之間的斜向距離。如圖：

《地理新書》卷十三“禽交六尺立成法”中共列出“甲辰冢壬穴”和“乾冢壬穴”七種規格的墓地大小長闊（寬）。經過逐一對比后，我們發現“乾冢壬穴”中一塊規格最大的墓地與杜氏大塋最為吻合。該墓地“東西三十九步，南北五十一步”（1步=5尺）。按“禽交吉穴之圖”，對這塊墓地各邊十三分之，甲穴與壬穴的橫向（東西）距離為7/13×39（步），縱向距離（南北）為3/13×51（步），分別是上圖直角三角形中兩條邊的長度。杜甫文中的“二十四步”，則是這個直角三角形中斜邊（弦）的長度。根據勾股定理a2+b2=c2對此進行驗算：

所得數據只有微小差別，幾乎可以不計，兩者并非偶然相合。

盧氏下葬離杜審言去世已三十馀年，她葬于甲穴，是按照“臥馬”葬法，后葬附前葬不能排成一列，而要取“雁行斜向”之勢。這時，要找到甲穴的正確位置，需要按照葬書所列墓地規格，由壬穴東行21步（7/13×39），再向南行11步3尺8寸（3/13×51）即得，然后可以用斜行24步進行驗算。兩者相合，即保證位置準確無誤。這就是杜甫在文中給出“二十四步”數據的原因。葬書只給出長闊步尺，斜向距離需要自己運用數學知識進行演算。盡管勾股定理的實用性很強，普通土木工人也會運用“勾三股四弦五”的口訣找方（直角），但要進行上面這例運算，就必須掌握《九章算術》第九章中才介紹的勾股定理公式以及開方。

從以上這兩個例子來看，杜甫的數學知識雖然還不能與數學家相提并論，但放到現在，還是能夠與一般接受中等教育的人一比高下的。