我教《平方差公式》

摘 要：平方差公式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，文章按照學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合具體教學(xué)實際，附以實例的敘述了引入、探索、剖析、鞏固訓(xùn)練、靈活運用、數(shù)形結(jié)合等教學(xué)環(huán)節(jié)，展現(xiàn)了平方差公式的教學(xué)全過程，培養(yǎng)了學(xué)生的能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：平方差公式；探索；歸納

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）24-136-02

平方差公式是蘇科版教材七年級下冊第九章第四節(jié)的第二課時的內(nèi)容，是繼單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式和完全平方公式之后的第二個乘法公式，和完全平方公式一樣，它也是多項式乘以多項式的一個特例。將這樣的一個特例作為公式，它為符合公式特征的整式乘法的運算帶來方便，也為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，所以平方差公式在初中階段的教學(xué)中具有很重要地位。根據(jù)課標(biāo)要求，我是這樣實施課堂教學(xué)的：

一、巧設(shè)情境，引人入勝

從生活中的實例引入，一是想激發(fā)學(xué)生求知興趣；二是為說明平方差公式的幾何意義做好鋪墊。采用如下引例：

一位狡猾的莊園主把一塊邊長為a的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他提出把這地的縱向減少5米，橫向增加5米，租金不變。張老漢同意了，張老漢是否吃虧？請你幫張老漢算一算。

通過幫張老漢計算圖（1、2）中的面積可見，從而揭露莊園主的狡猾，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。學(xué)生自己就會感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的確是有用的。

二、自主探索，獲取新知

在教學(xué)中以一組相關(guān)聯(lián)但又有區(qū)別的題目為載體，讓學(xué)生通過計算，觀察每個算式、結(jié)果的特點，挖掘題目間的共性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這樣既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊。讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式——平方差公式，體會歸納這一數(shù)學(xué)思想方法。為此設(shè)計了下列問題：

問題1：利用多項式的乘法法則，計算下面各題。再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；

（3）（a+ b）（a- b）= ；（4）（2x+1）（2x-1）=

問題2：通過這些題目的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：【左邊】兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積【右邊】這兩個數(shù)的平方差

猜想：（a+b）（a-b）=？

該“探究”題組的問題指向是“你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律”，這就將學(xué)生的思維自然地導(dǎo)向了“結(jié)構(gòu)特征”，與接下來的“再來計算（a+b）（a-b）”上下呼應(yīng)，在突出結(jié)構(gòu)特征的同時，揭示了“平方差公式”與“一般多項式乘法”之間的內(nèi)在聯(lián)系。

歸納平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2

即：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差

通過多項式的乘法法則踐行猜想，讓“感知”得到到“理性的檢驗”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科思維的嚴(yán)謹(jǐn)，讓合情推理與演繹推理完美并進(jìn)，進(jìn)而準(zhǔn)確的用數(shù)學(xué)語言表述公式。

三、剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。

在平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即a2-b2；

②讓學(xué)生說明以上四個算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式。

四、小試牛刀，鞏固成果

學(xué)生數(shù)學(xué)技能的習(xí)得離不開模仿、重復(fù)訓(xùn)練。平方差公式是典型的程序性技能訓(xùn)練內(nèi)容，課標(biāo)要求初中學(xué)生必須掌握基本知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。正確地運用公式按一定的程序和步驟進(jìn)行技能訓(xùn)練，提高技能訓(xùn)練的效率，才能更好掌握數(shù)學(xué)知識。分析學(xué)習(xí)了平方差公式立即用教材P67練一練1、2兩題進(jìn)行訓(xùn)練。

五、靈活運用，巧妙轉(zhuǎn)化通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)散思維和逆向思維，從而加強(qiáng)學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，連續(xù)使用平方差公式是對公式應(yīng)用的拓展與提高。

1、填空：①（-m+___）（n+____）=n2-m2

②寫出與（-a+b）相乘能用平方差公式的因式___________。

③（5a+b+3c）（5a+b-3c）=A2-B2，則A=_______B=______.

2、計算：（x+y）（x-y）（x2+y2），并根據(jù)此題自編一道類似的題，同桌交換做一做。

六、數(shù)形結(jié)合，幾何說理

讓學(xué)生計算教材P66圖中陰影部分面積，通過觀察、計算發(fā)現(xiàn)面積的求法與乘法公式之間的吻合，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時也激活了學(xué)生的思維，加深學(xué)生對平方差公式的理解。對“用面積說明平方差公式”，用意在于說明“平方差公式”具有直觀的幾何意義，沒有做過多文章”，更不能將其作為推導(dǎo)“平方差公式”的依據(jù)，以免造成學(xué)生對“平方差公式”的誤解。

平方差公式的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過程：從“特例——一般”用“歸納——猜想——驗證——數(shù)學(xué)符號”表示等過程，發(fā)展了學(xué)生的符號感、培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力；讓學(xué)生能理解了公式中a、b各代表什么；學(xué)會了分析、運用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征解決問題；讓學(xué)生在經(jīng)歷從具體到抽象，從一般到特殊中，尋找規(guī)律，自我歸納，明確解決同類問題的基本套路；積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，感受“平方差公式”的魅力，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；在自主探究、合作交流、程序訓(xùn)練的過程中體驗學(xué)習(xí)的快樂和幸福，從而能更主動地去理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的精神。