對二元一次不等式表示平面區域的探究

摘 要：在直線的某一側取特殊點，確定二元一次不等式表示的平面區域非常容易，但是，對于有些問題卻無能為力。本文通過課本的一條解題思路，對二元一次不等式表示平面區域進行研究，給出不用特殊點解決二元一次表示平面區域的方法。

關鍵詞：二元一次不等式；平面區域；解題思路；解決

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）24-135-01

確定二元一次不等式表示的平面區域，只需在此直線的某一側取一個特殊點 ，從 的正負即可判斷 表示直線哪一側的平面區域。但對于問題：“已知直線 ，不等式 表示直線 的下方區域，求 的取值范圍。”上述方法勢將無能為力。怎么辦呢？仔細閱讀課本，可以發現一條解題思路，為了以下敘述方便，不妨摘錄如下：

在直線 上任取一點 ，過點 作平行于 軸的直線 ，在此直線上點 的右側的任意一點 都有 ，所以 ，從而 ，即 ，因為點 是直線 上的任意點，則對于直線 右上方的任意點 都成立，從而 表示直線 右上方的平面區域。

不過應注意的是，上述方法對于判斷二元一次不等式表示的平面區域是直線的右方還是左方比較方便，但要準確指明上下關系不太方便。

請看下例，若直線 的方程是 ，仿上解法，設 是直線上的任意一點，過點 作平行于 軸的直線 ，在此直線上點 的右側的任意一點 都有 ，從而 ，由 及點 的任意性知 表示直線右方的點，只有結合圖形，方能發現 表示直線 的下方區域。

方法改進如下：

對于直線 ，要研究其下方區域表示的方法，對于 上的任意一點 ，過 作直線平行于 軸，在此直線下方的任意一點 都有 ，從而 ，由 及點 的任意性知 表示直線 下方的區域，循此改進后的思路我們來解決文首的問題。

在直線 上任取一點 ，過 點作直線平行于 軸，要研究下方區域，就在該直線上的點 的下方任取一點 ，則 ，因而 ，且當 時 ，從而 ，所以當 時， 表示直線 的下方區域。

用以上方法，容易解決下面的問題：

若 分別表示直線 的左方、右方及上方的區域，求 的取值范圍。

（答案： ）

由此得出這一結論。