淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

【摘要】數(shù)學(xué)歸納法是證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種數(shù)學(xué)推理方法，是一種形式獨(dú)特的完全歸納推理，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.本文指出了數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)——佩亞諾（）的歸納公理，討論了數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并指出了使用數(shù)學(xué)歸納法時的注意點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；應(yīng)用； 注意點(diǎn)【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）13-0275-01

數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的證明方法，在不少數(shù)學(xué)問題的證明中，它都有著其他方法所不能替代的作用，甚至在物理、生物等方面都有著廣泛的前景.本文先簡單闡述數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)，然后通過一些具有例子討論數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，最后簡單敘述數(shù)學(xué)歸納法在應(yīng)用中需要注意的問題.

歸納法和演繹法都是重要的數(shù)學(xué)方法.歸納法中的完全歸納法是邏輯方法；不完全歸納法是非邏輯方法，只適用于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)思維，不適用于數(shù)學(xué)嚴(yán)格證明.

數(shù)學(xué)歸納法既不是歸納法，也不是演繹法，是一種遞歸推理，其理論依據(jù)是佩亞諾公理Ⅰ―Ⅴ中的歸納公理：

Ⅰ.存在一個自然數(shù)0∈N；

Ⅱ.每個自然數(shù)a有一個后繼元素d，如果d是a的后繼元素，則a叫做d的生成元素；

Ⅲ.自然數(shù)0無生成元素；

Ⅳ.如果d=b′，則a=b；

Ⅴ.（歸納公理）自然數(shù)集N的每個子集M，如果M含有0，并且含有M內(nèi)每個元素的后繼元素，則M=N.

數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法有著廣泛的應(yīng)用，它不僅可以用來證明與自然數(shù)有關(guān)的初等數(shù)學(xué)問題，而且還可以解決高等數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、離散數(shù)學(xué)、概率論甚至物理、生物、計(jì)算機(jī)等方面的有關(guān)問題.在用數(shù)學(xué)歸納法解決以上問題時，能大大降低問題的復(fù)雜性，同時能找出相應(yīng)的遞推關(guān)系.下面結(jié)合具體例子討論數(shù)學(xué)歸納法在整除、不等式、數(shù)列等問題中的應(yīng)用.

1數(shù)學(xué)歸納法在整除問題的應(yīng)用

整除問題都可以用數(shù)學(xué)歸納法來解決，用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證明整數(shù)的整除性問題的一個技巧.

例1 求證：n3+5n（n∈N+）能被6整除.

證 （1）當(dāng)n=1時，13+5×1=6能被6整除，命題成立.

（2）假設(shè)n=k時，命題成立，即k3+5k能被6整除.

當(dāng)n=k+1時，有（k+1）3+5（k+1）=（k3+3k2+3k+1）+（5k+1）

=（k3+5k）+3k（k+1）+6.

因?yàn)閮蓚€連續(xù)的正整數(shù)的乘積k（k+1）是偶數(shù)，所以3k（k+1）能被6整除.

從而（k3+5k）+3k（k+1）+6能被6整除，即當(dāng)n=k+1時命題也成立.

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知，對一切正整數(shù)命題都成立.

2數(shù)學(xué)歸納法在不等式問題的應(yīng)用

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k時不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明.

例2 設(shè)ai>0（i=1，2，…，n），且a1+a2+…+an=1.

求證：a21+a22+…+a2n1n（n2）.

證（1）當(dāng)n=2時，因a1+a2=1，故.a21+a22+2a1a2=1.

又a21+a222a1a2，所以a1+a212.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即在a1+a2+…+ak且a>0（i=1，2，…，k）的條件下有a21+a22+…+a2k1k.

則當(dāng)n=k+1時，a21+a22+…+ak2+ak+12=1，且ai>0，所以0

故1-ak+1>0滿足歸納假a21+a22+…+a2k1k設(shè)所應(yīng)滿足的條件，所以（a11-ak+1）2+（a21-ak+1）2+…+（ak1-ak+1）21k.

即 a21+a22+…+a2k（1-ak+1）2k

a21+a22+…+a2k+ak+12（1-ak+1）2k+ak+12.

因?yàn)椋?-ak+1）2k+ak+12-1k+1=（k+1）2ak+12-2（k+1）ak+1+1k（k+1）

=1k（k+1）[（k+1）ak+1-1]20

所以a21+a22+…+a2k+ak+121k+1.

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，原命題對大于的自然數(shù)都成立.

3數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題的應(yīng)用

例3 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有的自然數(shù)n，都有Snn（a1+an）2，證明{an}是等差數(shù)列.

證設(shè)a2-a1=d，假設(shè)an=a1+（n-1）d.

當(dāng)n=1時，an=an，所以當(dāng)n=1時假設(shè)成立.

當(dāng)n=2時，a1+（2-1）d=a2，所以當(dāng)a=2時假設(shè)成立.

假設(shè)當(dāng)n=k（k2）時，假設(shè)也成立，即：ak=a1+（n-1）d.

當(dāng)n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=（k+1）（a1+ak+1）2-k（a1+ak）2.

將ak=a1（k-1）d 代入上式，得到

2ak+1=（k+1）（a1+ak+1）-2ka1-k（k-1）d

整理得 （k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d.

因?yàn)閗2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1時假設(shè)成立.

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對所有的自然數(shù)n，都有an=a1+（n-1）d，從而{an}是等差數(shù)列.

本題是將證明等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)n成立的問題.在證明過程中ak+1的得出是本題解答的關(guān)鍵，利用了已知的等式Sn=n（a1+an）2，數(shù)列中通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系ak+1=Sk+1-Sk建立含ak+1的方程，代入假設(shè)成立的式子ak=a1+（k-1）d中解出ak+1.另外本題注意的一點(diǎn)是不能忽視驗(yàn)證n=1、n=2的正確性.因?yàn)椋桑╧-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d得到ak+1=a1+kd的k2.所以，用數(shù)學(xué)歸納法證明時遞推的基礎(chǔ)是n=2時等式成立.

數(shù)學(xué)歸納法主要是針對一些自然數(shù)的相關(guān)命題，所以在證明和自然數(shù)n有關(guān)的式子中有著不可替代的作用，對于一些和自然數(shù)有關(guān)的長式子、繁式子都有化長為短、化繁為簡的功效.當(dāng)然在使用數(shù)學(xué)歸納法時要注意：第一，證明的兩個步驟缺一不可.第一步是歸納法的基礎(chǔ)，第二步是歸納法的傳遞.尤其不可忽視第一步的驗(yàn)證；第二，第二步在證明T（n+1）為真時，一定要用到歸納假設(shè)，即要把“T（n）為真，推出T（n+1）為真”或由“T（n0），T（n0+1），…，T（k-1）為真，推出T（k）為真”的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含真正體現(xiàn)出來，否則不是數(shù)學(xué)歸納法證明；第三，并不是凡與自然數(shù)相關(guān)的命題T（n）都能用數(shù)學(xué)歸納法給以證明的.

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