淺談反思性數學學習能力的培養

【摘要】 反思性數學學習就是學習者對自身數學學習活動的過程，及活動過程中所涉及的有關信息、思維、結果等進行反思，通過自主學習、探究學習，重構知識網絡，促進知識的同化和遷移，產生新的發現。筆者從教學實踐出發談談如何在課堂上營造對解題反思學習的氛圍、引導學生對解題進行反思，使學生感受到反思對學習數學的作用和效果。幫助學生養成對解題進行反思的習慣，教會學生對解題反思的方法，使學生的學習能力得到更充分的發揮，進一步提高學生學習數學的興趣和水平。

【關鍵詞】引導；反思性學習；數學【中圖分類號】G424.1 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）13-0272-02

反思是人們對于自身的行為思想進行思考的過程，是人有意識的考察自己行為的能力，它使人更清晰的理解自己的行為和行為的后果，從而更理性、更有目的的開展行動。

《新課程標準》指出：“人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、反思與建構等思維過程，這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。” 同時提出，評價應關注學生“能否不斷反思自己的數學學習過程，并改進學習方法。”著名數學教育家弗賴母登塔爾也指出：“反思是數學活動的核心和動力”，“對于解題的反思”是比解題更高級的一種數學思維活動，因此，在數學教學中引導學生學會積極的反思，對于培養學生學會學習、提高思維能力是非常重要的。下面結合教學實踐談談我對這一問題的探索和做法。

1創設問題情境，培養反思意識

新課標提倡在教學中，教師要有意識地創設問題情境，從而引發學生質疑的興趣，以趣生疑，由疑點碰撞產生智慧的火花，調動其好奇心，由好奇引發需要，有了需要再積極思考，才能不斷發現問題，提出問題。還有，教師要從學生的實際和認知水平出發，通過創設反思性問題情境，引發學生對學習過程中的基礎知識、學習方法、解題策略、情感體驗等做自覺的回顧反思，使不同個體和群體在思維激烈碰撞中，把學生活躍的思維推向深刻，也讓學生體驗到適時的反思對深化思維是一副催化劑。

2強化引導，培養反思習慣

按新課標的要求，教師的角色由指導者轉化為是引導者，他的任務是啟發誘導。課堂教學中，教師在講解題目后，要注意多留空間和時間，引導學生進行解題后反思。教師在引導過程中，既不可放任自流，讓學生毫無目的去反思，又不可“包辦”學生的思維過程，要在學生無法解決問題時，給予適當的點撥。

3反復實踐，掌握反思途徑

教師在教學中要引導學生反復實踐，讓學生掌握反思的途徑。解題后，學生需要反思什么呢？

3.1反思解題的正確性： 解題中往往受思維定勢或粗心大意等因素的影響，導致解答不正確，因此在解題后需要對解題的正確性進行反思。如：求下列各數的

3.2反思解題過程與結果的準確性：教師要引導學生復查求解過程和結果有無錯誤，指出容易出錯的地方，促使學生養成做題后檢查的好習慣學生做題易發生以偏概全或漏解的錯誤，在教學中要引導學生反思解答是否全面，有無丟解現象。如：⊙A經過原點O，A點的坐標為（2，0），點P在x軸上，⊙P的半徑為1且與⊙A 外切，則點P的坐標為 .學生往往只能寫出一個解（5，0），忽略了P點在x軸的負半軸，正確答案是（5，0）或（-1，0）。

3.3反思結果的合理性： 學生在求出結果后，就以為解題結束，不再推敲結果是否與題設吻合，或是否符合實際意義，這是學生解題失誤的原因之一，教師在解題教學中應恰當引導。如：若關于y的一元二次方程ky2-4y+1=0有實根，則k的取值范圍是什么？學生易解得k≤4，但沒考慮到當k=0時，該方程不是一元二次方程。

3.4反思思維遷移

3.4.1反思引申、推廣： 引導學生將某些題目適當引申、推廣，可以激發學生的求知欲望，培養學生自主探索的良好習慣，從而培養學生良好的思維品質。

例1如圖，為了測量停留在空中氣球的高度，小明先站在地面A點觀測氣球，測得仰角為27°，然后他向氣球方向前進了50m，此時在D點觀測氣球，測得仰角為40°，如果小明的眼睛離地面約1.6m，請問小明如何計算氣球離地面的高度？（精確到0.1m）

解：從題意己知，∠CAB=270，∠CDB=40O，AD=50m，點A、D、C在一條直線上，BC⊥AC。設CD=xm，CB=hm.

在Rt△ABC中，tan270=h50+x

h =（50+x）tan270〔1〕

在Rt△BCD中，tan400=hx

h=xtan400. 〔2〕

根據〔1〕和〔2〕，得：（50+x）tan270=xtan400

所以， x=50tan270tan400-tan270， h=50tan270tan400-tan270×tan400

計算得： h+1.6≈66.5（m）

答：氣球的高度約為66.5m。

這是一道典型的三角函數應用題，講解例題的目的在于使學生能夠運用例題的方法去解決相關的問題。即要使學生形成相關知識、方法的遷移能力。“遷移”是以原有知識、技能作前提，跟隨以下三個要素而產生的：一是同情境下的共同因素；二是知識、經驗的概括水平；三是對事物、問題之間的相互關系的覺察。當該例題講解完畢后，教師可以讓學生進行下面的深入思考：

當該例題講解完后，教師可以讓學生進行下面的深入反思交流。

（1）在解習題1中運用了那些知識，又運用了什么方法。主要應用了角的正切知識，應用了建立方程（或方程組）模型的思維方法。當設BC=xm后，通過利用三角函數原理400角的正切函數，圖中的CD、CA都能用含x的代數式來表示，再利用兩一個角（270）的正切就能建立如下方程：

tan270=xtan40050+x或（50+x）tan270=xtan400.

對這一步解題的反思，是對解法進行概括和總結，能加深學生對于解法的認識、記憶和遷移。

變式：B、C是河一邊的兩點，A是對岸的一點，測得∠ABC=45°，∠ACB=30°，BC=60m，計算A到BC的距離。

（2）這兩道題，在解題的過程中有那些不同之處，又有那些相同地方，讓學生通過反思指出其中的共性。

共同之處：在圖2中過A點向BC作高AD后，這樣兩個習題中都有兩個直角三角形，且每個直角三角形中都各有一個銳角是已知的，要求的都是一條直角邊。兩個題目的解法是相同的。

對這一題的反思，可通過習題1與習題2的對比，引導學生對例題解法再次思考；使學生感受到解數學題的實質就是將要解的問題化歸為以往所見的題型。

經過這樣的反思，學生對本題的認識得到了升華。

3.4.2反思一題多解。一道題做完后，要引導學生反思能否從其他從另外角度或途徑去分析、思考，從而尋找多種方法解決，尋找最佳解題方案，通過反思不但使學生對問題有更深層次的理解，而且開闊了學生的視野。

例2、已知二次函數y=ax2+bx+c經過點（-1，0），（3，0）和（1，-4），求二次函數的函數關系式。

解法一：常規思路，三點代入，確定a，b，c

分別將（-1，0），（3，0）和（1，-4）代入y=ax2+bx+c，可得方程組：

a-b+c=0

9a+3b+c=0

a+b+c=-4

解得a=1，b=-2，c=-3

∴y=x2-2x-3

解法二：根據所提供的點的特點，兩點都是與x軸的交點，

可設y=a（x+1）（x-3）

將點（1，-4）代入y=a（x+1）（x-3），解得 a=1

∴y=（x+1）（x-3）= x2-2x-3

解法三：根據拋物線的對稱性，因點（-1，0）與點（3，0）對稱，易知對稱軸的橫坐標為1，所以（1，-4）是拋物線的頂點。

設y=a（x-1）2-4

將（-1，0）代入y=a（x-1）2-4，得a=1

∴y= （x-1）2-4= x2-2x-3

讓學生比較三種解法的優劣勢，進一步培養學生解題后反思的習慣，從而激發學生的學習興趣，提高學生分析問題解決問題的能力。

總之，在數學教學中引導學生解題后反思，能使學生加深對題目特征的認識，使學習能達到舉一反三的效果。反思是對數學思想的內化，是對數學方法的抽象概括，是對解題合理性和準確度的進一步審視。反思能深入地觸及數學思維的本質，從而使學生的學習提升到學數學的思想方法上。在課堂教學中，重視對解題的反思，常此以往，學生就會養成對解題反思的習慣，在潛移默化中就掌握了反思的方法，養成解題后自我反思的習慣。

參考文獻

[1]楊裕前，董林偉《數學教師教學用書》九年級（下冊）〔M〕.江蘇科學技術出版社，2007（第1版）

[2]劉顯國、張麗晨 《初中數學課堂教學藝術》中國林業出版社