初中數學“比較型”題型解法初探

【摘要】“比較型”題型在數學教學中經常出現，由于其形式靈活，構思精巧，知識覆蓋面廣，應用十分廣泛。學好其解法和技巧可以開闊學生思路，活躍學生思維，有“事半功倍”之功效。

【關鍵詞】比較型題型；特殊值法；換元法；倒數法；因式分解；構造法【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）13-0270-02

“比較型”題型在數學教學中經常出現，由于其形式靈活，構思精巧，知識覆蓋面廣，應用十分廣泛。在數學考試中有關“比較型”的題目多種多樣，難易程度不同，其解法和技巧也是多種多樣。特別是某些題目的解法和技巧，讓人有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。學好其解法和技巧可以開闊學生的思路、活躍學生思維，有“事半功倍”之功效，從而達到提高學生智力之目的。

常見比較型題目除采用做差比較、做商比較、平方比較以外，還可采用以下方法：

特殊值法

所謂特殊值法是指假設某些符合條件的數值，使問題具體化、形象化和可操作化，從而完成解答。

例：若x

A、M

C、Q

分析：將x、y賦滿足條件的具體值，進行比較問題會清晰明了。

解：設x=-2 ，y=-1.則M=2，N=1.P=32 Q=2

故有 M>P>Q>N. 故選 D

2換元法

所謂換元法就是在一個比較復雜的代數式中，用新的變元去替代原式的一個部分或改進原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

例：試比較232008232009與232009232010的大小

分析：在題目中出現了3個無法計算的代數式：232008、232009和232010。

不防將中間的232009作為參照，令其為X，從而得到其232008和232010之間的關系，再進行比較。

解：設232009=x，則232008=x23232010=23x

3倒數法

我們知道，某些代數式與其倒數之間有著微妙的規律，乘積為1，對某些無法計算的算式，將其倒數化，會使問題迎刃而解。

例：試比較的大小。

分析：在平時的解題中，如果我們細心就會發現3-2的倒數為3+2，4-3的倒數是4+3，5-4的倒數是5+4，利用這一規律適合這一題目，將會很具體。

4因式分解法

所謂因式分解法就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。它是恒等零形的基礎，因式分解方法主要有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、利用拆項、求根分解、換元、待定系數法等等。

例：已知a>b>c，證明a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）>0

分析：以a為主元將左邊進行分式分解，再進行證明。

左邊=（b-c） a2+（c2-b2）a+（b2c-bc2）

=（b-c） a2-（c-b）（c+b）a+bc（b-c）

=（b-c）[a2-（b+c）a+bc]

=（b-c）（a-b）（a-c）

∵a>b>c∴a-b>0. a-c>0. b-c>0.

∴（b-c）（a-c）（a-c）>0.

故：a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）>0

5分子有理化

對于一個分數來說，若分子式一個無理數組成的代數式，采取方法是將其化為有理數的過程成為分子有理化。分子有理化可以統一分子，實現一些在標準形式下不易進行大小的比較，有時可大大簡化一些乘積運算。

例：已知：c>1，x=c-c-1，y=c+1-c，z=c+2-c+1，則x、y、z的大小關系是（）。

A.x>y>zB.z>x>yC.y>x>zD.z>y>x

分析：該題目直接比較大小困難重重，如果利用分子有理化將是轉化成由代數式相加表示.問題便得到簡化。

6構造法

所謂構造法就是在解題目時，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素（可以是圖形、方程組）、等式、函數、等價命題等，從而架起一座連接條件和結論的橋梁。以便使問題得到解決。運用構造法解題、可以使代數、三角、幾何等多種數學知識互相滲透，它也是體現創造性思維的一個重要環節。

例：已知當0x1時，二次三項式x2-2ax+a2-1的值恒為正數，求實數a的取值范圍。

分析：此二次三項式以x為主元降冪排列，可采用配方法將其分解因式，利用二次函數的性質（結合圖形）就可確定a的取值范圍。

因二次項系數為1，所以函數開口向上，又因當0x1時，二次三項式的值恒為正數。所以函數圖像如圖所示。

分類討論：①當a-1>1時，得a>2；

②當a+1<0時，得a<-1。

7反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后從這一假設出發，經過正確推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法，其方法有歸納法和窮舉法。