談中學幾何教學中的對稱性及應用

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）13-0266-02

“對稱”概念的提出源于自然。許多動、植物的長相是對稱的，自然界里的對稱現象給人以美的感覺。對稱性也是數學美的重要特征。在數學歷史的發展過程中，由對稱性因素和對稱美的考慮而引出的新概念和新理論不勝枚舉。各種逆運算的建立，一系列數域的擴張均與對稱性因素密切相關。由常量到變量，由確定性到隨機性，由有限到無限，由精確到模糊等等，無不顯示了對稱性因素在數學發展中的重要作用。

幾何與代數中均存在對稱性問題。本文單從平面幾何方面進行說明。平面幾何中的對稱主要是中心對稱和軸對稱。

（一）、中心對稱任一對對應點的連線段過對稱中心，且被中心平分。

軸對稱任一對對應點的連線段被對稱軸垂直平分。

常見的軸對稱圖形是：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正多邊形和圓等。軸對稱和中心對稱圖形均是全等形。且在軸對稱下，兩對應直線或交于對稱軸上的同一點或平行于對稱軸；在中心對稱下，兩對應線段平行且相等。

（二）、對稱性的應用。

1、看對稱，找結論。

數學上，許多結論和方法的獲得均是有規律可循的，不少幾何題目，如果從對稱的角度去觀察、分析，很容易找到答案。

例1、在△AOB的OA邊上取P和S兩點，再在OB邊上取Q和T兩點，使OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于X，找出圖中相等的線段和角度，再求證OX平分∠AOB。

分析：考慮到本題的圖形關于∠AOB的平分線對稱這一事實，不難發現有關相等的線段和角度， 從而很易獲證。

例2、如圖，把⊙O的弦AB向兩方延長且取AC=BD，過C和D在CD的同旁作圓的切線CE和DF，求證：CD=DF。

分析：圖形關于AB（或CD）

的垂直平分線對稱。并有CB=DA，

從而易證CE=DF。且明顯看出圖中相等的線段和相等的角。

2、用對稱，找思路。

在處理幾何問題時，充分利用圖形的對稱性，往往有助于找到思路。

例3、△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O，∠B的平分線交AD于I；（1）觀察O和I兩點的特性；（2）求證：OA=OB=OC；（3）求證：I到BC，CA和AB的距離相等；（4）如果O和I重合，△ABC有什么特點？

分析：這里AO與BO關于AB的垂直平分線對稱，如果由I作IK⊥AB，交AB于K，則ID和IK關于BI對稱，圖形關于AD對稱，如果O和I重合，則圖形同時關于BI所在直線對稱，結論自明！

例4、如圖，過菱形ABCD的頂點A作AG，交對角線和邊及其延長線于E、F、G。求證：EC2=EF·EG。

分析：利用菱形的對稱性（關于對角線對稱） 易知∠1=∠2=∠3，故△ECF∽△EGC，∴EFEC=ECEG，即EC2=EF·EG。

3、想對稱，添輔助線。

幾何證題中，困難較大的多半是添置輔助線的問題，輔助線一經作出，問題就迎刃而解。但怎樣作輔助線呢？利用對稱往往可啟發我們的思路。

例5、過⊙O的弦BC之中點A，作二弦PQ、RS，連PS、RQ交BC于M、N，求證：AM=AN。

證明：如圖，作對稱軸T（AO），S→S′，由圓的對稱性知： AS=AS′，∠1=∠2。

點P，S，Q，R共圓

∴∠3=∠4

∵四點R，S，S′，Q共圓

∴∠6+∠7=180°

由∠6=∠1=∠2

∴∠2+∠7=180°，從而A，S′，Q，N共圓，∠5=∠4=∠3，即∠5=∠3，∴△AMS≌△ANS′，即AM=AN。

例6、如圖，△ABC中，AB=3AC，∠1=∠2，BE⊥AE，BC與AE交于D點，求證：AD=DE。

分析：由角平分線和垂線應聯想起AB關于AE的對稱形，即延長BE交AC的延長線于B′，有BE=B′E，AB′=3AC，要證AD=DE，設法用全等三角形，故取AB中點F，連接EF，交BC于K，有EF∥AB′，K為BC中點，KE=B′C=AC，易證△ACD≌△EKD，從而AD=DE。另外，本題也可僅用重心結論，由FK=KE，K為△ABE的重心，故BD是△ABE的AE邊上的中線，∴D為AE的中點。本題還可取B′C的中點P，連結EP，在△BB′C中可知EP∥BC，在△AEP中，由CD∥EP，AC=CP，可知D為AE中點。