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淺談平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系

2012-12-31 00:00:00白輝
新課程·中旬 2012年12期

“平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系”這部分內(nèi)容雖然不復(fù)雜,只有三種:平行、相交、重合。但是做題時(shí)需要注意的地方不少,下面就和大家一起梳理一下這方面的易錯(cuò)、易漏點(diǎn)。

1.直線方程有幾種表示形式:點(diǎn)斜式、斜截式……都離不開斜率K。斜率扮演如此重要的角色,我們一般不會(huì)忘,但一種特殊情況——K不存在卻常常被遺忘。舉一個(gè)簡單的例子:

已知一直線過P(-5,3)且與x+2y-3=0的夾角θ為arctan2,求此直線。

解:∵夾角θ=arctan2,∴tanθ=2。

根據(jù)tanθ=■,解得k=■。

故所求直線方程為3x-4y+27=0。

乍看,解題步驟很好,但它存在疏漏之處:K不存在的情況被忽略,此時(shí)應(yīng)為x=-5。實(shí)際上,根據(jù)夾角公式所求的斜率K的值應(yīng)有兩個(gè),若解出一個(gè),另一個(gè)則不存在。

2.“截距”也是這一部分的重要概念,當(dāng)題目中給出的條件出現(xiàn)截距的關(guān)系時(shí),容易忘記“截距為零”的情況。如直線經(jīng)過P(4,5),它在x軸y軸上的截距相同,求此直線。

解:設(shè)此直線在x軸y軸上的截距為a,則直線方程為■+■=1,代入P(4,5),得a=9。

思路清晰但不全面,忽略了截距為零的情況。實(shí)際上,截距為零時(shí),直線方程為:y=■x。

另外,截距≠距離,截距可正可負(fù)可為零,而距離卻不能為負(fù)數(shù)。

3.關(guān)于平行線間的距離,我們有一個(gè)公式:d=■,當(dāng)求兩平行線間的距離時(shí),不能盲目地去套公式。如求兩平行線3x+2y+1=0與6x+4y+5=0間的距離。

如果盲目地來做此題,則會(huì)發(fā)現(xiàn)兩直線方程中的A,B不同,究竟用哪一個(gè)呢?很顯然,這個(gè)題就無法進(jìn)行下去。由此,我們應(yīng)明白:一定要將兩式中的A,B化為相同時(shí)才能用上述公式。所以正確解法為:

求3x+2y+1=0與6x+4y+5=0間的距離,即求

3x+2y+1=0與3x+2y+■=0的距離,根據(jù)d=■,解得d=■。

由此公式我們也可看出:重合≠平行。

4.到角公式。它的使用是有范圍的:除兩直線垂直和其中一條無斜率的情況都適用,以上兩種情況都會(huì)使這個(gè)式子無意義。

另外,特別注意:到角是逆時(shí)針形成的角。

5.連接詞的使用。著重介紹“或”“且”,它們兩個(gè)是意義差別最大卻最容易混用的,如:m(m-2)≠3解得:m≠3?m≠-1這中間的連接詞用什么好呢?我們先要了解“或”“且”分別表示的意義。“或”意味著當(dāng)m≠3,m≠-1中有一個(gè)成立時(shí),原式就成立,而“且”意味著必須m≠3,m≠-1同時(shí)成立,原式才成立。由此我們很容易確定此處應(yīng)用“且”。

6.“角平分線方程”與“角平分線所在直線的方程”不是一回事。前者是一條射線,以此角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的射線,而后者則是一條直線。當(dāng)我們寫出它們的方程時(shí),要注意標(biāo)出x、y的范圍來區(qū)別它們。

另外,在用到角公式或夾角公式求角平分線所在直線的方程時(shí),理論上應(yīng)求出兩個(gè)斜率,到底取哪個(gè),應(yīng)根據(jù)圖象判斷。

7.A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0這個(gè)式子表示的是一個(gè)直線系,是一個(gè)過直線:L1:A1x+B1y+C1=0與L2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系,但是A2x+B2y+C2=0除外。

其實(shí),我們應(yīng)該注意到的地方還有很多,不僅僅是以上的幾個(gè)方面。不會(huì)做的題我們無可奈何,但會(huì)做的題,我們就要力爭把應(yīng)得的分得上,不要讓它留有遺憾。這就要求我們“多些認(rèn)真,少些粗心”,免得“一著不慎,滿盤皆輸”。

(作者單位 山東省東營市利津一中)

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