淺談平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系

“平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系”這部分內(nèi)容雖然不復(fù)雜，只有三種：平行、相交、重合。但是做題時(shí)需要注意的地方不少，下面就和大家一起梳理一下這方面的易錯(cuò)、易漏點(diǎn)。

1.直線方程有幾種表示形式：點(diǎn)斜式、斜截式……都離不開斜率K。斜率扮演如此重要的角色，我們一般不會(huì)忘，但一種特殊情況——K不存在卻常常被遺忘。舉一個(gè)簡單的例子：

已知一直線過P（-5，3）且與x+2y-3=0的夾角θ為arctan2，求此直線。

解：∵夾角θ=arctan2，∴tanθ=2。

根據(jù)tanθ=■，解得k=■。

故所求直線方程為3x-4y+27=0。

乍看，解題步驟很好，但它存在疏漏之處：K不存在的情況被忽略，此時(shí)應(yīng)為x=-5。實(shí)際上，根據(jù)夾角公式所求的斜率K的值應(yīng)有兩個(gè)，若解出一個(gè)，另一個(gè)則不存在。

2.“截距”也是這一部分的重要概念，當(dāng)題目中給出的條件出現(xiàn)截距的關(guān)系時(shí)，容易忘記“截距為零”的情況。如直線經(jīng)過P（4，5），它在x軸y軸上的截距相同，求此直線。

解：設(shè)此直線在x軸y軸上的截距為a，則直線方程為■+■=1，代入P（4，5），得a=9。

思路清晰但不全面，忽略了截距為零的情況。實(shí)際上，截距為零時(shí)，直線方程為：y=■x。

另外，截距≠距離，截距可正可負(fù)可為零，而距離卻不能為負(fù)數(shù)。

3.關(guān)于平行線間的距離，我們有一個(gè)公式：d=■，當(dāng)求兩平行線間的距離時(shí)，不能盲目地去套公式。如求兩平行線3x+2y+1=0與6x+4y+5=0間的距離。

如果盲目地來做此題，則會(huì)發(fā)現(xiàn)兩直線方程中的A，B不同，究竟用哪一個(gè)呢？很顯然，這個(gè)題就無法進(jìn)行下去。由此，我們應(yīng)明白：一定要將兩式中的A，B化為相同時(shí)才能用上述公式。所以正確解法為：

求3x+2y+1=0與6x+4y+5=0間的距離，即求

3x+2y+1=0與3x+2y+■=0的距離，根據(jù)d=■，解得d=■。

由此公式我們也可看出：重合≠平行。

4.到角公式。它的使用是有范圍的：除兩直線垂直和其中一條無斜率的情況都適用，以上兩種情況都會(huì)使這個(gè)式子無意義。

另外，特別注意：到角是逆時(shí)針形成的角。

5.連接詞的使用。著重介紹“或”“且”，它們兩個(gè)是意義差別最大卻最容易混用的，如：m（m-2）≠3解得：m≠3？m≠-1這中間的連接詞用什么好呢？我們先要了解“或”“且”分別表示的意義。“或”意味著當(dāng)m≠3，m≠-1中有一個(gè)成立時(shí)，原式就成立，而“且”意味著必須m≠3，m≠-1同時(shí)成立，原式才成立。由此我們很容易確定此處應(yīng)用“且”。

6.“角平分線方程”與“角平分線所在直線的方程”不是一回事。前者是一條射線，以此角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的射線，而后者則是一條直線。當(dāng)我們寫出它們的方程時(shí)，要注意標(biāo)出x、y的范圍來區(qū)別它們。

另外，在用到角公式或夾角公式求角平分線所在直線的方程時(shí)，理論上應(yīng)求出兩個(gè)斜率，到底取哪個(gè)，應(yīng)根據(jù)圖象判斷。

7.A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0這個(gè)式子表示的是一個(gè)直線系，是一個(gè)過直線：L1：A1x+B1y+C1=0與L2：A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系，但是A2x+B2y+C2=0除外。

其實(shí)，我們應(yīng)該注意到的地方還有很多，不僅僅是以上的幾個(gè)方面。不會(huì)做的題我們無可奈何，但會(huì)做的題，我們就要力爭把應(yīng)得的分得上，不要讓它留有遺憾。這就要求我們“多些認(rèn)真，少些粗心”，免得“一著不慎，滿盤皆輸”。

（作者單位 山東省東營市利津一中）