淺談平面內兩條直線的位置關系

“平面內兩條直線的位置關系”這部分內容雖然不復雜，只有三種：平行、相交、重合。但是做題時需要注意的地方不少，下面就和大家一起梳理一下這方面的易錯、易漏點。

1.直線方程有幾種表示形式：點斜式、斜截式……都離不開斜率K。斜率扮演如此重要的角色，我們一般不會忘，但一種特殊情況——K不存在卻常常被遺忘。舉一個簡單的例子：

已知一直線過P（-5，3）且與x+2y-3=0的夾角θ為arctan2，求此直線。

解：∵夾角θ=arctan2，∴tanθ=2。

根據tanθ=■，解得k=■。

故所求直線方程為3x-4y+27=0。

乍看，解題步驟很好，但它存在疏漏之處：K不存在的情況被忽略，此時應為x=-5。實際上，根據夾角公式所求的斜率K的值應有兩個，若解出一個，另一個則不存在。

2.“截距”也是這一部分的重要概念，當題目中給出的條件出現截距的關系時，容易忘記“截距為零”的情況。如直線經過P（4，5），它在x軸y軸上的截距相同，求此直線。

解：設此直線在x軸y軸上的截距為a，則直線方程為■+■=1，代入P（4，5），得a=9。

思路清晰但不全面，忽略了截距為零的情況。實際上，截距為零時，直線方程為：y=■x。

另外，截距≠距離，截距可正可負可為零，而距離卻不能為負數。

3.關于平行線間的距離，我們有一個公式：d=■，當求兩平行線間的距離時，不能盲目地去套公式。如求兩平行線3x+2y+1=0與6x+4y+5=0間的距離。

如果盲目地來做此題，則會發現兩直線方程中的A，B不同，究竟用哪一個呢？很顯然，這個題就無法進行下去。由此，我們應明白：一定要將兩式中的A，B化為相同時才能用上述公式。所以正確解法為：

求3x+2y+1=0與6x+4y+5=0間的距離，即求

3x+2y+1=0與3x+2y+■=0的距離，根據d=■，解得d=■。

由此公式我們也可看出：重合≠平行。

4.到角公式。它的使用是有范圍的：除兩直線垂直和其中一條無斜率的情況都適用，以上兩種情況都會使這個式子無意義。

另外，特別注意：到角是逆時針形成的角。

5.連接詞的使用。著重介紹“或”“且”，它們兩個是意義差別最大卻最容易混用的，如：m（m-2）≠3解得：m≠3？m≠-1這中間的連接詞用什么好呢？我們先要了解“或”“且”分別表示的意義。“或”意味著當m≠3，m≠-1中有一個成立時，原式就成立，而“且”意味著必須m≠3，m≠-1同時成立，原式才成立。由此我們很容易確定此處應用“且”。

6.“角平分線方程”與“角平分線所在直線的方程”不是一回事。前者是一條射線，以此角的頂點為端點的射線，而后者則是一條直線。當我們寫出它們的方程時，要注意標出x、y的范圍來區別它們。

另外，在用到角公式或夾角公式求角平分線所在直線的方程時，理論上應求出兩個斜率，到底取哪個，應根據圖象判斷。

7.A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0這個式子表示的是一個直線系，是一個過直線：L1：A1x+B1y+C1=0與L2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系，但是A2x+B2y+C2=0除外。

其實，我們應該注意到的地方還有很多，不僅僅是以上的幾個方面。不會做的題我們無可奈何，但會做的題，我們就要力爭把應得的分得上，不要讓它留有遺憾。這就要求我們“多些認真，少些粗心”，免得“一著不慎，滿盤皆輸”。

（作者單位 山東省東營市利津一中）