淺談轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用

摘 要：轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的思想之一，通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題.就函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化等展開了討論.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化與化歸；應(yīng)用；解題

轉(zhuǎn)化與化歸的思想是指在解決問題時(shí)，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略.數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)能力，它的核心就是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，也是高考重點(diǎn)考查的最重要的思想方法.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到化難為易、化生為熟、化繁為簡的題目，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn).轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程；化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.

在近幾年的高考中，轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查所占比重都很大，特別是實(shí)施新課標(biāo)之后，高考考題更是以基礎(chǔ)知識為出發(fā)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決問題中起到了更大的作用.常見的轉(zhuǎn)化策略有：函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化等.

一、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

例1.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x-2a-1，其中x=2sinθ（0<θ≤■）.若二次方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1和x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】由題意可知，二次方程ax2+2x-2a-1=0在區(qū)間[-1，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由y=f（x）的圖象（如圖所示），得出等價(jià)不等式組：

■

解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，-■].

二、正與反的轉(zhuǎn)化

例2.在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 個(gè).

【解析】不能被5整除的數(shù)要分類討論，情況較多，這時(shí)我們不妨換一個(gè)角度，從反面入手考慮，用間接法.注意到不能被5整除實(shí)質(zhì)上是末位數(shù)字不是0，也不是5，由此可知：

所有四位數(shù)有A15×A35=300個(gè)，

末位為0的有A35=60個(gè)，

末位為5的有A14×A24=48個(gè)，

∴滿足題意的數(shù)共有300-60-48=192個(gè).

三、常量與變量的轉(zhuǎn)化

例3.設(shè)f（x）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若f（1-ax-x2）≤

f（2-a）對任意a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍.

【解析】∵f（x）在R上是增函數(shù)，

∴由f（1-ax-x2）≤f（2-a）

可得1-ax-x2≤2-a，a∈[-1，1].

∴a（x-1）+x2+1≥0，對a∈[-1，1]恒成立.

令g（a）=（x-1）a+x2+1.

則當(dāng)且僅當(dāng)g（-1）=x2-x+2≥0，g（1）=x2+x≥0，解之，得x≥0或x≤-1.

故實(shí)數(shù)x的取值范圍為x≤-1或x≥0.

總之，轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)中有著極其重要的作用，掌握轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法，在運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意用“變換”的方法來解決數(shù)學(xué)問題，依據(jù)問題本身提供的信息，去尋求有利于解決問題的變換途徑和方法，進(jìn)行合理的選擇，會取得事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐倩.在解題過程中關(guān)注命題轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（7）.

[2]魏侹路.利用轉(zhuǎn)化思想解決平面向量問題.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（8）.

（作者單位 河南省原陽縣第一高級中學(xué)）