復數的幾何意義

中圖分類號：G623.5

理解復數與復平面內的點、平面向量是一一對應的，能根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。利用復數的幾何意義，可使兩點間的距離公式、常見的曲線方程及某些平面區域有簡明的表達形式，為使用復數解幾何問題方便，復數運算的幾何意義實現了數與形的結合。體現在：

1、通過學習復平面上點的軌跡，進一步使學生掌握復數及減法的代數、幾何、向量表示法及彼此之間的關系。

2、通過復數、平面上點及位置向量三者之間聯系及轉化的教學，對學生進行事物間普遍聯系及轉化等辯證觀點的教育。

3、提高學生數形結合能力；培養對應與運動變化的觀點。

例題（1）實數m分別取什么數值時，復數z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i，（1）對應點在x軸上方；（2）對應點在直線x+y+5=0上.

解析（1）由m2-2m-15>0，

得m<-3或m>5，

即當m<-3或m>5時，z的對應點在x軸上方.

（2）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，

得m=-3-414或m=-3+414，

即當m=-3-414或m=-3+414時，z的對應點在直線x+y+5=0上.

例題（2）已知z1、z2∈C ，且 ，

若 ，則 的最大值是（ ）

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

解法1：

的最大值是4

解法2： ，

，即

表示以原點為圓心，以1為半徑的圓；

表示以（0，2）為圓心，以1為半徑的圓。

的最大值為兩圓上距離最大的兩點間的距離為4。

例題（3）若復數z滿足條件 ，

求 的最值。

解法1：（數形結合法）由 可知，z對應于單位圓上的點Z；

表示單位圓上的點Z到點P（0，2）的距離。

由圖可知，當點Z運動到A（0，1）點時， ，此時z=i；

當點Z運動到B（0，-1）點時， ， 此時z=-i。

解法2：（不等式法）

，

解法3：（代數法）設 ，則

，即

當 ，即 時， ；

當 ，即 時， =3，

解法4：（性質法）

，即

當 ，即 時，

當 ，即 時，

例題（4）復數z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數.

分析一：

利用 ，求點D的對應復數.

解法一：

設復數z1、z2、z3所對應的點為A、B、C，正方形的第四個頂點D對應的復數為x+yi（x，y∈R），是：

=（x+yi）-（1+2i）=（x-1）+（y-2）i；

=（-1-2i）-（-2+i）=1-3i.

∵ ，即（x-1）+（y-2）i=1-3i，

∴ 解得

故點D對應的復數為2-i.

分析二：

利用原點O正好是正方形ABCD的中心來解.

解法二：

因為點A與點C關于原點對稱，所以原點O為正方形的中心，于是（-2+i）+

（x+yi）=0

∴x=2，y=-1.

故點D對應的復數為2-i.