函數(shù)概念生活化

【摘要】：函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，是學(xué)生對現(xiàn)實(shí)世界中具體的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識向抽象的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識的一個(gè)飛躍，然而由于函數(shù)概念的復(fù)雜性，使它成為中學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。感受到了學(xué)生對函數(shù)概念理解困難。筆者在中學(xué)生的認(rèn)識理解基礎(chǔ)上采取一種類比方法，幫助同學(xué)們理解函數(shù)概念。

【關(guān)鍵詞】：函數(shù)概念；類比方法；抽象

中圖分類號：G623.5

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，萬事開頭難，明確函數(shù)的概念，是學(xué)習(xí)及應(yīng)用函數(shù)的前提，也是學(xué)生們思想，思維提升的關(guān)鍵。

一、函數(shù)的表達(dá)由來

函數(shù)的發(fā)展歷程最為可觀。十九世紀(jì)才對函數(shù)有了對應(yīng)關(guān)系，1821年，柯西（Cauchy，法，1789-1857）從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對函數(shù)來說不一定要有解析式。不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來表示，這是一個(gè)很大的局限。

1822年傅里葉（Fourler，法國，1768-1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也可用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識有推進(jìn)了一個(gè)新層次。

1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805-1859）突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他開拓了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x的值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個(gè)定義避免了函數(shù)中對依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托（Cantor，德，1845-1918）創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫（Veblen.，美，1880-1960）用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對象。

1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”

二、中文“函數(shù)”的由來

在中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的《代數(shù)學(xué)》一書中首次用中文把“function\"翻譯為“函數(shù)”，此譯名沿用至今。對為什么這樣翻譯這個(gè)概念，書中解釋說：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”：這里的“函”是包含的意思。

三、初高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)概念

經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)概念的理解是中學(xué)生學(xué)習(xí)上的一個(gè)困難。

1、初中教材中，函數(shù)的概念即函數(shù)的傳統(tǒng)概念：在某一變化過程中，有兩個(gè)變量x，y。在某一法則的作用下，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與其相對應(yīng)，這時(shí)，就稱y是x的函數(shù)。這時(shí)，x是自變量，y是因變量。初中階段，由于學(xué)生們的認(rèn)知水平存在差異，少部分同學(xué)能夠接受函數(shù)的概念，一部分同學(xué)能夠機(jī)械的運(yùn)算函數(shù)問題，而還有一部分同學(xué)是函數(shù)為一座高山，難以逾越，這不能怪學(xué)生學(xué)不會，函數(shù)的這兩個(gè)變量之間的關(guān)系，真的很抽象；進(jìn)入高一，學(xué)生們先學(xué)習(xí)集合表示，集合是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

在集合的基礎(chǔ)上，教材中出現(xiàn)了集合觀念下的函數(shù)概念即函數(shù)的近代概念：設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，f：x→y是從A到B的一個(gè)對應(yīng)法則，那么在f的作用下，集合A中的每個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，就叫集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系；記：y=f（x），其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函數(shù)f（x）的定義域，象集合C叫做函數(shù)f（x）的值域。

四、趣解函數(shù)概念

不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)就是表達(dá)數(shù)與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，由于它的抽象性，對學(xué)生來說，理解起來并不是這么容易，其實(shí)只要掌握函數(shù)兩個(gè)要求：?對象是數(shù)字；?對應(yīng)關(guān)系；數(shù)字同學(xué)們能理解，關(guān)鍵是對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系有：一對一對應(yīng)關(guān)系，多對一對應(yīng)關(guān)系，一對多對應(yīng)關(guān)系，哪種對應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)關(guān)系？這是同學(xué)們困惑的關(guān)鍵點(diǎn)，為了讓同學(xué)們更容易的理解，我從以下兩個(gè)方面做了類比解讀函數(shù)概念。

1、從函數(shù)字面意思上解讀；函，李善蘭前輩解釋為“包含”，我從中華詞典中查閱，函，即信函；信函，這是每個(gè)同學(xué)都熟悉的事物并且都知道同一個(gè)時(shí)間：一封信→一個(gè)地方，多封信→同一個(gè)地方，卻沒有一封信→多個(gè)地方；那么前面發(fā)生的兩種對應(yīng)關(guān)系正是近代數(shù)學(xué)中函數(shù)表達(dá)的兩種對應(yīng)關(guān)系即：一對一關(guān)系和多對一關(guān)系；而這種關(guān)系就體現(xiàn)在函數(shù)的概念：設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，f：x→y是從A到B的一個(gè)對應(yīng)法則，那么在f的作用下，集合A中的每個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)；信封就是集合A，集合A中的數(shù)字就是信封中的信紙，集合B就是寄信地址；而郵遞方式就是對應(yīng)法則：f；這樣就能很好的幫助學(xué)生們理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；例如：函數(shù)y=kx+b（b為常數(shù)），x的范圍是集合A中的數(shù)字，y的范圍是集合B中的數(shù)字，對應(yīng)法則f為：y=kx+b，由我們熟悉的一次函數(shù)解析式，同學(xué)們很容易的理解 每取一個(gè)數(shù)字，通過對應(yīng)法則y=kx+b，都有惟一的y值與之對應(yīng)；

2、從函數(shù)的表達(dá)式解讀：多數(shù)函數(shù)的表達(dá)都習(xí)慣用x，y表示；對于x，y學(xué)生們都明白，在古代中國有一夫多妻制，在生理學(xué)中x代表雌性，y代表雄性，所以從這個(gè)角度來理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：一夫一妻制即一對一對應(yīng)關(guān)系；一夫多妻制即一對多對應(yīng)關(guān)系（夫代表數(shù)字y；妻代表數(shù)字x）

從上面的對應(yīng)關(guān)系中，很容易確定后兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系；經(jīng)過多年教學(xué)用這種方法解讀函數(shù)概念，學(xué)生們很輕松的接受了這個(gè)概念，在下面學(xué)習(xí)函數(shù)表示及函數(shù)的應(yīng)用時(shí)就駕輕就熟了，從思想上也減輕了知識負(fù)擔(dān)；

研究函數(shù)的入門課程很重要，如果這個(gè)問題能夠引起注意，幫助同學(xué)們順利的完成這部分的學(xué)習(xí)，對以后學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)有很大的幫助，甚至對整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都起到拋磚引玉的作用。

參考文獻(xiàn)

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