例談導數在高職數學中的應用

摘要：導數是高職數學教學中的一部分內容。它的引入使相應的一些數學方法和解題手段更加的豐富和精妙。導數在解決函數單調性、函數最（極）值，不等式證明以及曲線切線問題等方面的問題中，都是有力的工具。其方法與傳統的常規方法相比，更具有明顯優勢。

關鍵詞：導數；單調性；最值；不等式；切線方程

中圖分類號：G718.5

導數是高職數學教學中的一部分內容，它是微積分學中的最基本概念。它是對函數性質研究的有力工具。在函數的單調性、最值等方面，導數都提供了快捷便利的研究方法。甚至在不等式的證明中，導數也能打開一條新的途徑。下面通過一些典型例題的解答簡單闡述導數的工具作用。

一、導數在證明函數的單調性及求函數單調區間方面的應用

利用拉格朗日中值定理，可以證明定理：設 在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，那么（1）如果在（a，b）內有 ，則 在內是單調增函數；（2）如果在（a，b）內有 ，則 在（a，b）內是單調減函數。利用這一定理，可以快速地判斷函數單調性并求出函數單調區間。

【例1】求函數 的單調區間

解：該函數的定義域為R，得一階導函數數 。令 ，得駐點 。當 時， ，因此 在區間 內單調遞減；當 時， ，因此 在區間 內單調遞增。

點評 通過傳統方法來證明單調性和求解單調區間，化簡證明過程相當的繁瑣復雜。而使用導數來解決，過程就會非常簡潔。

二、導數在證明不等式的中的應用

利用單調性證明不等式的成立的過程，首先需要構造函數 ，根據題目給定的范圍 ，求解出 在范圍 上的單調性，而后利用單調性得到不等式，從而來解決原不等式的證明。

【例2】證明：當 時，不等式 的成立

解：構造函數 ，定義域為 。對函數求導得 。因為 ，所以 。即當 時，函數 為增函數。所以 ，有 ，故可得 ，即不等式 的成立。

點評 本例在構造函數式是直接根據不等式構造的。但有些不等式的證明，需要將不等式作適當變形后才能找到構造的函數。

【例3】已知 ，且 為正整數，求證：

分析：由于 ，且 為正整數，所以

故，構造函數 ，利用其單調性可以證明

解：設 ，求導得

∵ ∴ ， ∴ 即

∴

即 在 上單調遞減

∵ ∴ ，即不等式得證。

點評 “構造函數”是利用導數來解決不等式證明問題的主要途徑。

三、導數在解決最值問題中的應用

利用導數解決最值問題中，主要依靠函數的極值來解決。函數的極值是一個局部概念，僅與極值點左、右兩邊近旁的函數值比較。整個函數的定義域內可以有多個極值，且極小值也有可能大于極大值。所以在閉區間內的函數的最值可以定義為：

最大值=max{極大值，端點函數值} 最小值=min{極小值，端點函數值} （3.1）

利用導數求解最值問題的步驟可以歸納為：

1）令 ，在題目給定的區間內，解得駐點

2）求駐點左右的區間上函數的單調性。若左增右減，則駐點處為極大值；若左減右增，則駐點為極小值；其他情況均不為極值。此過程可以通過列表實現。

3）求解的閉區間端點出的函數值

4）根據公式（3.1）求出最值

【例4】函數 在區間 內的最值

解：令 ，得 或 ，易得 是區間 內的唯一駐點。

極小值為 ，端點值為 ， ，所以，函數最大值為max{ ， } ，最小值為min{ ， ， }= 。

點評 在本例中，步驟（2）中判斷極值點的方法可以替換為考察 的二階導數。當 時， 為極小值點；當 時， 為極大值點；當 時， 的情況不確定。因此，【例4】中判斷極值點的過程可以替換為：

，

取駐點 時，有，

所以 是函數 在給定區間內的極小值點。

此方法，在復雜度和運算量上有一定優勢。但是，由于 時， 的極值點情況不確定，所以在應用范圍上較窄，沒有原來的方法適應的函數更廣。

當在利用導數求解實際問題中的最值時，如果函數 在開區間（a，b）內只有一個駐點 ，并且從實際問題本身又可以知道在開區間內的最大值（最小值）確實存在，那么直接可得 就是所要求的最大值（或最小值）。

【例5】如圖所示，已知一正方形鐵皮邊長為90cm，將其四個角分別截去同樣大小的一個正方形，做成一個無蓋鐵箱，問截去的小正方形邊長為多少cm，才能使無蓋鐵箱的容積達到最大？最大容積為多少？

解：設截去的小正方形邊長為a cm，鐵箱容積為

由題意可知， ，求導可得

令 ，求得（0，45）內的唯一的駐點 ，此時

由于該實際問題中最大值必定存在，所以我們可以確定：當 時，鐵箱容積達到最大值。所以當截去的小正方形的邊長15cm時，鐵箱有最大容積為 。

點評 根據實際問題的條件，利用導數能快速求出最值。

四、導數對解決曲線切線問題的應用

在引入導數的過程中，我們就是從求曲線的切線問題開始的，割線轉化為切線的思想方法中抽象出了導數的概念。所以導數在解決曲線切線的問題上也起到了有力的作用。

【例6】求過原點與曲線 相切的切線方程

解：原點（0，0）不在曲線上，故設切點坐標為（ ， ），則有 ，該點處的切線斜率為 ，所以切線方程為 。由于原點（0，0）在切線上，代入切線方程可得 ，于是得到切點坐標（ ， ）回代入切線方程可得

點評 利用好切點處的導數即為曲線在該點處的斜率這一性質。

通過以上例題，可以看到，導數在高職數學中有著廣泛的且重要的應用。在解決函數單調性、函數最（極）值，不等式證明以及曲線切線問題等方面的問題中，導數都是有力的工具。其方法與傳統的常規方法相比，更具有簡潔的過程和明顯優勢。另外，導數除了在高職數學之外，在其他專業課程也有及其重要的應用，如在物理中，求解加速度等問題。

參考文獻：

[1]《數學》編寫組編. 數學（第四冊）[M]. 江蘇教育出版社，2012

[2]華東師范大學數學系編. 數學分析（第二版）[M]. 高等教育出版社，1991.