立體幾何中探索性問題的向量解法

中圖分類號：G642.421

近幾年的高考對新課程增加的新內容的考查形式和要求已經發生重大變化，向量、導數等內容已經由解決問題的輔助地位上升為分析問題和解決問題時必不可少的工具，成為綜合運用數學知識、多角度展開解題思路的重要命題素材。高考試卷中立體幾何試題不斷出現了一批具有探究性、開放性的試題，對這些試題的研究不難發現，如果靈活的運用平面向量和空間向量知識來探求這類問題，將是更好的形與數的結合。

一、探求軌跡問題的向量解法

①利用向量的幾何運算探求軌跡

例1.（2004年襄樊市高考模擬試題）一定長線段AB的兩個端點沿互相垂直的兩條異面直線 運動，求它的中點的軌跡。

解析：如圖：設MN為 的公垂線，連結AN，則AM⊥MN，NB⊥MN，分別記MN、AB的中點為O、P，AB=a，MN=b，

則 = = .

∴P點必在平面AMN的垂直平分面上。

∵

= 。

∴ 。

所以P點在以O為圓心，以 為半徑的圓上，故P點的軌跡是MN的垂直平分面內的一個圓。

點評：本例從向量的幾何運算入手，定性的分析了動點的軌跡，解決了傳統方法不能解決的問題。

②利用向量的坐標運算探求軌跡

例2.（2004年南京市高考模擬題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點M在棱AB上，且 ，點P是ABCD面內的動點，且點P到直線A1D1的距離與點P到點M的距離的平方差為1，則點P的軌跡是（ ）。

A 拋物線 B 雙曲線

C 直線 D 以上都不是

解析：建立如圖所示的坐標系，

設P ，E在A1D1上，

設E ，若PE是P到A1D1的距離，則 ， ， ，∴ ，即E（ ）。

，

由 1得： ，所以軌跡是拋物線，應選A。

點評：通過建立坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，進行定量分析，是新課程的一大亮點。

通過上述兩例可以看出，以空間圖形為載體的軌跡問題，是把立體幾何問題轉化到平面上，再聯合運用平面幾何、立體幾何、平面向量、空間向量等知識去求解，特別是用向量的運算，從定量或定性去分析，會更加具體和直觀。

二、存在性問題的向量解法

①棱上存在一點的向量解法：

例3：如圖所示，在底面是菱形的四棱錐

P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC= ，

PB=PD= ，點E在PD上，且 ，在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論。

解析1：當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC.

證明如下：

因為

= .

所以 、 、 共面。

又BF 平面AEC，從而BF∥平面AEC。

點評：通過向量的幾何運算，充分利用向量共面的充要條件，巧秒的構建基底向量，使解法更加簡明。

解析2：以A為坐標原點，直線AD、AP為 軸、

軸，過A點垂直平面PAD的直線為 軸，建立

空間直角坐標系，如右圖，由題設條件，相關各點

坐標分別為：

A（0，0，0），B（ ，C（

D（ ），P（ ），E（ ）。

所以 ，

， ， 。

設點F是棱PC上的點，則 = ，其中0< <1.

則 = ，令 得：

，解得 ， ， ，即 時， ，亦即F是PC的中點時， 、 、 共面。

又BF 平面AEC，所以當F是PC的中點時，BF∥平面AEC。

點評：建立坐標系，將位置關系用坐標形式進行量化，是新教材的一大亮點，本例采用坐標形式結合共線向量的充要條件，使問題簡單明了。

解析3：由解析2知，設點F是棱PC上的點，則 ，由定比分點公式得：

， ， ，

所以F的坐標為（ ， ， ），令

則 = ），所以，

解得： ， ， 。

，亦即F是PC的中點時， 、 、 共面。

又BF 平面AEC，所以當F是PC的中點時，BF∥平面AEC。

點評：在坐標運算的基礎上，利用共線向量的充要條件，引入參變量 ，結合定比分點公式，既減少了思維量，又是形與數結合的體現。

②面上存在一點的向量解法

例4.（2005年高考文普模擬題）如圖所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中點， 與 夾角的余弦值為 。

（1）建立適當的空間坐標系，寫出點E的坐標。

（2）在平面PAD內求一點F，使EF⊥平面PCB.

解析：⑴以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設P（0，0，2m）.

則A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、E（1，1，m），

從而 =（-1，1，m）， =（0，0，2m）.

= ，得m=1.

所以E點的坐標為（1，1，1）.

⑵由于點F在平面PAD內，故可設F（ ），

由 ⊥平面PCB得：

且 ，

即

。

所以點F的坐標為（1，0，0），即點F是DA的中點時，可使EF⊥平面PCB.

點評：對于面上存在一點問題，一般情況下思維量和運算量比較大，通過對空間圖形的理解，尋找面的特殊性，巧秒構建坐標，將更加簡明。

例5.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，側棱PA與面ABCD所成的角的正切值為 ，

若E是PB的中點，在側面PAD中尋找一點F，使EF⊥平面PCB，試確定F的位置。

解析：由題意，設AO=2，PO= ，AB= 建立如圖所示坐標系，則

A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，0，0），

P（0，0， ），E（1，0， ）

=（-1，0， ）， =（-2，0， ）

=（-2，2，0），因在平面PAD內，

所以設 =

則 = ， = .

∴ = .

由 =0且 =0得： ， ，即 = .

點評：對于非特殊位置的面上存在性問題，運用基底向量的運算關系結合共線、共面向量的充要條件，采用坐標形式使這類存在性問題量化解決，這是空間向量解決空間幾何問題的方向。

綜上所述，在空間立體幾何中，對于開放性、探索性、存在性問題，新教材提供了既便利又有效的解決工具——向量。充分利用平面向量、空間向量的幾何運算或坐標運算，巧妙構建坐標，實施形與數的轉化，將抽象問題具體化、幾何問題代數化，既降低了抽象思維的難度，又使問題得到了解決，這也是新一輪課程改革的方向。