方程解的性質

摘要 本文研究了一些孤子波的物理特性，如 方程孤子波的傳播速度與“1+1維孤子方程”孤子解的共性，并且給出了 方程、 方程的由一個原始解推導新解的非線性疊加公式。

關鍵詞：方程；孤子方程；KdV方程

中圖分類號O175.1

1.行波解的物理特性

求行波解的方法類似于分離變量法，即把偏微分方程化為常微分方程來求解，這種方法在非線性科學中有很廣泛的應用，下面以 方程為例說明行波解的求解方法和它具有的物理特性。

設 方程： （1.1）

的解是 （1.2）

其中 。將（1.2）帶入（1.1）得，將它化為 的常微分方程

，

積分一次得： ，其中A為積分常數，這式子乘以 ，再積分一次，并引進積分常數B得

，

這里 為 的三次方程的三個根。

再利用橢圓積分的知識即可得到 方程的行波解

由此可以看出這個孤波解以 的速度向前傳播，并由此看出速度愈快，波愈高，波形愈窄。上述性質是孤子解的一個十分重要的物理性質。

2.“1+1維孤子方程”的共性

“1+1維孤子方程”共有的性質，即方程的解的形狀、速度在相互作用后保持不變。

下面先給出達布定理：薛定諤方程， ， （2.1）

在達布變換， ， ， （2.2）

， （2.3）

下不變，即 滿足與（2.1）相同的方程

（2.4）

以 方程為例，則有

命題1：在達布變化下， 滿足： （2.5）

當然 不僅要滿足（2.3），而且還要滿足： （2.6）

由命題1及 方程的推導過程知道：如果 是 方程的解，則有（2.2）定義的 是 方程的新解。

在研究 方程的孤子解問題時，用達布變化通常要先給出 方程的一個顯然的特解，很顯然 是 方程的一個解，我們將它作為“種子”，令 ，（2.3）和（2.6）之解為：

由（2.2）得，

我們重復應用，

如果取 則有，

為方便討論，上式改寫為

，其中

以上分析表明，當 時，第三項很小，可忽略不計，而前兩項就分別為兩個單孤子，它們的形狀、速度在相互作用后保持不變，只有相角 改變。這是在“1+1維孤子方程”的解中所共有的性質。

參考文獻

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