三角函數的求值與化簡

中圖分類號：G623.5

三角函數中的求值問題主要有：已知某三角函數，求另外某些三角函數值或三角式的值；已知某三角函數式的值，求某些三角函數或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等幾類，解決這類問題不僅需要用到三角函數的定義域、值域、單調性、圖像以及三角函數的恒等變化，還常涉及到函數、不等式、方程及幾何計算等眾多知識，這類問題往往概念性強，具有一定的綜合性和靈活性。我以為就三角函數的求值與計算應注重以下問題：

一、三角函數式的化簡：

（1）常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數

二、三角函數的求值類型有三類：

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；

（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；

（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角。

三、三角等式的證明：

（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端的化“異”為“同”；

（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。

例題（1）若 ，化簡

主要口訣：化異分母為同分母，脫去根式符號化簡

解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。

∴原式=

= =

=

例題（2）已知函數f（x）=- sin2x+sinxcosx.

（Ⅰ） 求f（ ）的值；

（Ⅱ） 設 ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.

例題（3）求證：tan x - tan x =

思路分析：本題的關鍵是角度關系：x= x - x，

右式= =

= tan x - tan x。

=

思路分析：將左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替換，

左邊= = = =右邊

例題（4）已知函數 求使 為正值的 的集合.

解：∵