選擇題相應的題型解讀

中圖分類號：G633.6

選擇題的主要特征是題目小、跨度大、知識覆蓋面廣、形式靈活，突出考查考生準確、嚴謹、全面、靈活運用知識的能力，是高考檢測的有力工具.下面就題型的特點并結合高考的導向要求對必修4知識作以題型解讀.

一、三角函數

近幾年高考對三角變換的考查要求減弱，加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因為函數的性質是研究函數的一個重要內容，是學習高等數學和應用技術學科的基礎，又是解決生產實際問題的工具，因此三角函數的性質是本章復習的重點.

在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象與性質結合起來，即利用圖象的直觀性得出函數的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質，同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法.

本章內容一般多以選擇題形式進行考查，且難度不大，從考查的內容看，大致可分為以下四類問題.

1.與三角函數單調性有關的問題

例1. 設函數f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π2）的最小正周期為π，且f（-x）=f（x），則（ ）

A.f（x）在（0，π2）單調遞減

B.f（x）在（π4，3π4）單調遞減

C.f（x）在（0，π2）單調遞增

D.f（x）在（π4，3π4）單調遞增

答案：A

解析：y=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+π4），由最小正周期為π得ω=2.又由f（-x）=f（x）可知f（x）為偶函數，|φ|<π2可得φ=π4，所以y=2cos2x，在（0，π2）單調遞減.

點評：涉及函數的單調性問題，定義域是關鍵，然后進行恒等變形，將函數式化為基本三角函數類型，進行轉化求解.

2.與三角函數圖象有關的問題

例2. 將函數y=sin6x+π4的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移π8個單位，得到的函數的一個對稱中心是（ ）

A.π2，0 B.π4，0

C.π9，0 D.π16，0

答案：A

解析：將函數y=sin6x+π4圖像上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，得y=sin2x+π4，再向右平移π8個單位，得y=sin2x-π8+π4=sin2x，令2x=kπ，k∈Z可得x=12kπ，k∈Z，即該函數的對稱中心為12kπ，0，k∈Z，故應選A.

點評：三角函數的對稱中心與對稱軸問題的求解的基本思想是運用整體變量思想，并結合基本三角函數的對稱軸與對稱中心列方程進行解決.

3.應用同角變換和誘導公式，求三角函數值及化簡和等式證明的問題

例3.（2011·浙江高考）若0<α<π2，-π2<β<0，cos（π4+α）=13，cos（π4-β2）=33，則cos（α+β2）=（ ）

A.33 B.-33

C.539 D.-69

答案：C

解析：對于cos（α+β2）=cos[（π4+α）-（π4-β2）]=cos（π4+α）cos（π4-β2）+sin（π4+α）sin（π4-β2），

而（π4+α）∈（π4，3π4），（π4-β2）∈（π4，π2），

因此sin（π4+α）=223，sin（π4-β2）=63，

則cos（α+4β2）=13×33+223×63=539.

點評：兩角和與差的三角函數一個障礙點就是找不到解題思路，因為三角函數主要研究角與函數，所以突破點常選在角的聯系及三角函數名的聯系上，主要從條件及結論在這兩方面的區別與聯系入手.另一障礙點是從眾多公式中合理地選擇公式解題，其主要入手點就是幾種三角函數的聯系，化異為同，減少函數種類則是常用的思路.

4.與周期和其偶性有關的問題.

例4.若函數f（x）=sin2x-2sin2x·sin2x（x∈R），則f（x）是（ ）

A.最小正周期為π的偶函數

B.最小正周期為π的奇函數

C.最小正周期為2π的偶函數

D.最小正周期為π2的奇函數

答案：D

解析：∵f（x）=sin2x-2sin2xsin2x=sin2x（1-2sin2x）=sin2xcos2x=12sin4x，∴f（x）是最小正周期為π2的奇函數.

點評：奇偶性判斷要先判斷定義域是否關于原點對稱，再利用三角變換公式化簡解析式再根據奇偶性的定義進行判斷，然后結合求周期的公式或定義確定出最小正周期.

二、平面向量

平面向量在高考試題中，主要考查有關的基礎知識，突出向量的工具作用.平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性質和運算法則，以及基本運算技能，考查學生掌握平面向量的和、差、數乘和數量積的運算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算；第二，考察向量的坐標表 示，及坐標形勢下的向量的線性運算；第三，經常和函數、曲線、數列等知識結合，考察綜合運用知識能力.

在近幾年的高考中，每年都有兩道題目.其中小題多以選擇題形式出現，考查了向量的性質和運算法則，數乘、數量積、共線問題與軌跡問題.下面我們就知識點通過實例作以說明.

5.平面向量的性質和運算法則

例5.已知 為 所在平面內一點且滿足 ，則 與 的面積之比為 （ ）

A.1 B. D.2

答案：B；

解析： 在AB上取一點D，使 ， 分 的比 ，得 ，又由已知 ，∴O為CD的 中點，不妨設 ，則 （∵兩者等底同高）， ， ，△AOB的面積與△AOC的面積之比為3：2，選B.[來源：

點評：解決問題應從源頭入手深入研究，運用數乘向量解決幾何問題時，要分清題設條件合理化歸千萬不可盲目套用結論處理問題.

6.平面向量的數量積

例6. （2011·全國）設向量 滿足 ， ，則 的最大值等于（ ）

A.2 B.3

C.2 D.1

答案：A；

解析：設 則

（ⅰ）若OC在∠AOB內，如圖

因為 所以∠AOB=120°，

又 ，則O，A，C，B四點共圓.

|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos120°=3，∴|AB|=3.

2R=|AB|sin120°=332=2，∴|OC|≤2，即 ≤2.

（ⅱ）若OC在∠AOB外，如圖

由（ⅰ）知∠AOB=120°，又∠ACB=60°，

|OA|=|OB|=1，知點C在以O為圓心的圓上，知 =|OC→|=1.

綜合（ⅰ），（ⅱ） 最大值為2.

點評：向量的數量積、向量的模、向量的夾角，是本章的重點，在具體操作中一定要處理好三者關系，也就解決好了實際應用問題.