談數學美與學生能力的培養

中圖分類號：G623.5

哲學家黑格爾對美的解釋為：美是理念的感性呈現，誠實道德無欲生理與心理的和諧為美。人的美感的形成，是長期的社會實踐，特別是生產勞動實踐，在人類發展的歷史過程中積累的結果。簡單是美的印跡，美是真理的光輝，古典主義者對美的概括為：\"美是形式的和諧\"。首創\"數學美在于形式\"說是畢達哥拉斯學派，對于\"對稱\"這種形式美特別能反映現實中的和諧。比如鳥類的翅膀，動物頭上的角，人體的外觀等都是左右對稱，雪花的花紋是六角對稱形，花卉世界的五重對稱等，無一不給人一種和諧的美感。

一、 數學美的涵義

愛因斯坦說\"美，本質上終究是簡單的\"，他還認為只有借助數學才能達到簡單的美學準則；歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱\"簡單美\"的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？！數學家龐加萊指出\"數學美\"的內涵可以概括為協調性、統一性、對稱性和奇異性。特別是協調與統一對稱等可以理解為和諧性。綜上所述，美的基本涵義也可以認為：事物關系（形式與內容）之間的和諧性與簡單性就是美，和諧的必然就是簡單，所以和諧性是數學美的本質核心。

二、 數學美育

數學是我們的基礎學科，是我們文化中極為重要的組成部分。她有智育的功能，也有其美育的功能。當代數學家徐利治教授明確提出：\"教育與教學的目的，應當讓學生獲得對數學美的審美能力，從而既有利于激發他們對數學科學的愛好，也有助于增長他們的創造發明能力\"。數學美的表現形式是多種多樣的，從數學內容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數學的方法及思維看，有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看，有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。

蘇霍姆林斯基說過：\"沒有審美教育就沒有任何教育\"。因此利用數學的美，理解數學的奧妙，領略數學美的神韻，這樣的學習過程不僅能陶冶性情，培養執著追求的堅強毅力，同時在審美活動中更加充分發揮出數學方面的創造潛能。

三、 數學教學實踐中體現數學美的地方很多，只要善于挖掘就能感受到數學美，同時也能培養審美創造能力。

1、 在直觀形式上感知，培養解題能力

在古代\"對稱\"的含義為\"和諧\"\"美觀\"，如古代的宮殿、廟宇、教堂等遵循對稱的原則，非常具有完美的美感，數學中有軸對稱，中心對稱，鏡對稱，共軛對稱等，數學上的對稱概念正是從自然事物形狀抽象而來，對稱定義從形式上看給人美感，所以工程與建筑中都充滿了對稱的設計，如故宮等呈現軸對稱以展現嚴肅方正完美的格局，在現實生活中處處都能感知到數學的美，所以說數學是對現實的抽象的認識。通過一定的數學符號形式結構表達出來，客觀現實中的美也就隨數學形式表現出來。在中學階段的圖形中，畢達哥拉斯派認為：從完整因素考慮，一切平面圖形中，圖形最美；一切空間圖形中，球形最美。特別是圓，既是中心對稱也是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；可以從函數的奇偶性去欣賞曲線圖形的對稱變化美。如函數f（x）=x2的圖象就是一條關于y軸對稱的拋物線；從函數的周期性去欣賞曲線圖形的美。如正弦函數y=sinx和余弦函數y=cosx的圖象是一條美麗的波浪線。數學美麗的圖形并非只能看不中用的，在實際解題中的應用是很廣泛的，比如（2011年高考陜西卷文科6）方程|x|=cosx在（-∞，+∞）內（ ）（A）沒有根（B）有且僅有一個根（C）有且僅有兩個根（D）有無窮多個根【解析】：令y1=|x|，y2=cosx，畫出這兩個函數的圖像就可以選出答案。再如等差數列前n項和公式的推導（倒序相加法）過程就是對稱美的應用。對稱或均衡的圖形如等邊三角形，正多邊形，雙曲線，正多面體，以及著名的楊輝三角形等都給人以美的的享受。

通過對數學美的感受，激發學生鉆研數學的激情，培養學習興趣，在愉悅的審美活動中啟發探求真理的思路，提高學生解決問題的能力。

2、 在現實應用上感知，培養審美創造能力

和諧的比例與優美的圖形設計給人美的享受。黃金比λ=≈0.618，達芬奇稱黃金分割比為\"神圣比例\"，認為\"美感完全建立在各部分之間神圣的比例關系上\"。人體最優美的身段遵循這個黃金分割比，美麗的自由女神維納斯身材比例恰好為黃金分割比。在許多藝術作品中，建筑設計領域也有廣泛的應用；黃金矩形是優美的，應用也十分廣泛，如火柴盒、雜志、國旗等它的應用給人帶來更多的美感。

3、 在學習、解題過程中感知發現數學美，培養數學審美能力

中學數學中包括概念證明的\"機智美\"，解決問題的\"實用美\"，題型變化及解題方法的\"變化美\"等等。

中學圓錐曲線教學部分，橢圓、雙曲線第二定義及拋物線定義中，到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡：e<1，e>1，e=1時，分別表示的軌跡為橢圓、雙曲線、拋物線。常數e的變化導致軌跡完全不同的曲線，其形狀性質相差甚遠，數學上的一些變化很奇妙，構成數學中的一種\"奇異美\"。比如（2011年高考海南卷文科12）已知函數y=f（x）的周期為2，當x∈[-1，1]時f（x）=x2，那么函數y=f（x）的圖象與函數y=|lgx|的圖象的交點共有（ ）A.10個B.9個C.8個D.1個【解析】畫出兩個不同函數y=f（x）與y=|lgx|的圖象，不難得出選項A正確.

中學數學中的化簡，數學化原則是數學簡潔美的要求與體現，極限法、特殊法是數學奇異美的要求與體現，一般化方法的內在關聯性是數學統一美、和諧美的要求與體現。從數學美學的角度審視數學知識、數學思維，并滲透于知識與解題的教學實踐中，可以更加充分地讓學生感知，理解數學美，獲得愉悅滿足感，更好地培養審美創造能力。

數學的解題方法靈活多變，在解題中發掘出簡單、優化的思路與方法，起到簡單奇妙的效果，完美地解決問題。

\"數學美\"是\"科學美\"的一種，科學與藝術一樣，都有自己的美學特征，它能陶冶情操，完善思維品質的作用；發掘數學的美可以在科學發現、探索學科規律、科學思維中獲得。達·芬奇是15至16世紀的一位藝術大師和科學巨匠。他用一句話概括了他的《藝術專論》的思想：\"欣賞我的作品的人，沒有一個不是數學家\"。

數學是美的科學，數學中概念的之完美，公式之簡潔，證明之嚴謹，推導之嚴密，圖形之優美，體系之和諧，這種種真實與正確，使數學顯示出它特有的美的魅力。我們應該帶領學生進入數學美的樂園，展示數學美，挖掘數學美，培養他們堅強質樸的品質，激發學習數學的興趣，讓他們感知、欣賞數學的美，提高審美能力，培養創造性思維能力。