關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式問題探討

摘要：求通項(xiàng)是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的形式，但是這方面的題目形式多變，技巧性較強(qiáng)，導(dǎo)致這一內(nèi)容成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列問題的難點(diǎn)。本文對一些常見的遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法進(jìn)行歸納總結(jié)，以希望對廣大中學(xué)生朋友們突破這一難點(diǎn)提供一定的幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)公式；方法；

中圖分類號：G623.5

一、觀察法

例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）9，99，999，9999，...

（2）1，1/2，1/4，1/8，...

解：（1）變形為：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......

∴通項(xiàng)公式為：10n- 1

（2）變形為：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，

∴通項(xiàng)公式為：1/2n- 1

觀察法就是要抓住各項(xiàng)的特點(diǎn)，與常見的數(shù)列形式相聯(lián)系進(jìn)行變形，探索出各項(xiàng)的變化規(guī)律，從而找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，寫出通項(xiàng)公式。

二、定義法

例2：已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列，若函數(shù)f（x）=（x- 1）2，且a1=f（d- 1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q- 1），求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

解：（1）∵a1=f（d- 1）=（d- 2）2，a3=f（d+1）=d2，

∴a3- a1=d2-（d- 2）2=2d，

∴d=2，

∴an=a1+（n- 1）d=2（n- 1）；

又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q- 1）=（q- 2）2，

由q∈R，且q≠1，得q=- 2，∴bn=b·qn- 1=4·（- 2）n-1 當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，只需求得首項(xiàng)及公差或公比，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

三、疊加法

例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，...求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。

解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...

各式相加得：an- a1=3+5+...+（2n- 1）=n2- 1

∴an=n2+5

對于可表述成為an- an- 1=f（n）的形式的數(shù)列，即可通過疊加的方法消去a2至an- 1項(xiàng)，從而利用的已知求出。

四、疊乘法

例4：設(shè)數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足（n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：∵ （n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解為[（n+1）an+1- nan]（an+1+an）=0

又∵ {an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，

∴an+1+an≠0，

∴ （n+1）an+1- nan=0，

由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，（n- 1）a（n-1）=nan，這n- 1個(gè)式子，將其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=1/n，∵n=1也成立，∴an=1/n（n∈N*）。

對于相鄰的兩項(xiàng)有確定的比例關(guān)系的遞推式，可以通過疊乘法消去和，從而利用的已知求出此類數(shù)列的通項(xiàng)公式。

五、取倒數(shù)法

例5：已知數(shù)列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =？

解：把原式變形得 an+1- an+1·an= an

兩邊同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1

∴{1/an} 是首項(xiàng)為 -1，d=-1 的等差數(shù)列

故an=-1/n

有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有 anan+1項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以 anan+1后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出 an。

六、利用公式 an=Sn-Sn-1（n ≥ 2） 求通項(xiàng)

例 6：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn滿足 S1> 1 且 6Sn=（an+1）（ an+2） n ∈ N*，求 {an}的通項(xiàng)公式。

解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，

由已知a1=S1> 1，因此 a1=2

又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 （an+1 +1）（an+1 +2）-1/6 （an +1）（an +2）得（an+1+an）（ an-1-an-3） =0

∵ an> 0 ∴ an-1-an=3從而 {an} 是首項(xiàng)為 2，公差為 3 的等差數(shù)列，

故 {an} 的通項(xiàng)為 an=2+3（n-1）=3n-1。

有 些 數(shù) 列 給 出 {an} 的 前 n 項(xiàng) 和 Sn與 an的 關(guān) 系 式Sn=f（an），利用該式寫出 Sn+1=f（an+1），兩式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn導(dǎo)出 an+1與 an的遞推式，從而求出 an。

七、構(gòu)造等比數(shù)列法

例 7：已知數(shù)列 {an} 滿足 a1=1，an+1=2an+1 （n ∈ N*），求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式。

解：構(gòu)造新數(shù)列 {an+p}，其中 p 為常數(shù)，使之成為公比是 an的系數(shù) 2 的等比數(shù)列，即 an+1+p =2（an+p） 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 ∴ p=1 即 {an+1} 是首項(xiàng)為 a1+1=2，q=2 的等比數(shù)列∴ an+1=2·2n-1

∴an=2n-1。

原數(shù)列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出 an。該法適用于遞推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f（n）an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 為不相等的常數(shù)，f（n） 為一次式。

總之，數(shù)列是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過度的橋梁，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式又是學(xué)好數(shù)列知識的關(guān)鍵，它具有很強(qiáng)的技巧性。但是由于同學(xué)們在剛剛接觸數(shù)列知識時(shí)，對求數(shù)列的通項(xiàng)公式?jīng)]有系統(tǒng)的方法，常常感覺無從下手，需要教師和學(xué)生共同努力，共同思考，不斷的完善求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和技巧，開拓思維，創(chuàng)新學(xué)習(xí)，逐步樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并能融會貫通的運(yùn)用到其他的知識學(xué)習(xí)中去。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cheng Baojuan .Fractional recursive progression item formula of the solution of [J].Education Forum，2012，（31）