新課標數列分類求和的解法分析

[摘要]在新課標中大多數求和的數列都是由我們所學過的等差、等比數列構造而來的新數列，因此數列求和問題的基本思想是以轉化為基礎，合理地進行變形，將新數列同我們所學過的等差、等比數列相聯系，從而達到以舊解新的目的。本文詳細的闡述了此觀點。

[關鍵詞]數列求和；數列的分類；方法的選擇

中圖分類號：G623.5

數列求和是數列的重要內容之一，在新課標高考和各種考查中都占有重要的地位。由于數列求和沒有通性通法，學生在解題時，只能盲目地照搬教輔資料上的方法。針對這種情況，筆者有一點求解心得，即依據通項公式的結構將求和數列進行分類，運用轉化思想，有針對性地將通項公式整理變形后，同等差、等比數列相聯系，從而求和。

1.求和數列的分類

1.1 等差、等比型數列：即數列通項公式最終可化簡整理成一次函數模型或者指數型函數模型的數列。

如：an=kn+b和an=kqn型的數列。

1.2 組合數列：即由一個等差和一個等比數列構造而成的數列。

設{an}是等差數列、{bn}是等比數列

1.2.1 加減組合數列：即由一個等差和一個等比數列相加減組成的數列。

如：數列{cn}的通項公式為cn=an+bn

1.2.2 乘除組合數列：即由一個等差和一個等比數列相乘除組成的數列。

如：cn=an·bn和

相除時，等差數列做分子，等比數列做分母，此時依然為等比數列。

1.3 分式型數列：即通項公式可整理成分式的數列。

如：

2.各類數列求和的解法分析

在新課標中，常用的求和方法有：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項法。

2.1 等差、等比型數列

此類數列最終可化簡成等差、等比數列，故可采用公式法求和，即直接用求和公式求解。

例1、（2010陜西卷）已知{an}是公差不為零的等差數列，a1=1且a1，a3，a9成等比數列。

（1）求數列{an}的通項；（2）求數列的前n項和Sn

解：（1）由已知得

解得d=1，d=0 （舍去）故{an}的通項an=1+（n-1）×1=n

（2）由（1）知

由等比數列前n項和公式得

注意：求和時，搞清楚首項、公差、公比（是否為1）的值，以及求多少項的和，不一定是n項

2.2 組合數列

2.2.1 加減組合數列：采用分組求和法求和，即將數列分成幾個等差、等比、或常見的數列，然后分別求和再合并。

例2、求數列的前n項的和。

解：因為

所以

注意：分組求和法實際上是公式法的延伸運用。

2.2.2 乘除組合數列：此類數列的求和在高考中占有相當重要的位置，一般可采用錯位相減法求和。此方法的目的是將原數列轉化成等比數列后再求和。

例3、（2010新課標全國卷）設數列{an}滿足a1=2，an+1-an=3×22n-1

（1）求數列{an}的通項公式；（2）令bn=nan，求數列{bn}的前n項和Sn

解：（1）由已知，當n≥1時，

an+1=[（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）]+a1

=3（22n-1+22n-3+…+2）+2=22（n+1）-1。

而a1=2，所以數列{an}的通項公式為an=22n-1。

（2）由bn=nan=n·22n-1知

①

故有②

①-②得

。

即

注意：相減過程中項的正負號及項的取舍，以及相減后求和時，項的個數為項。

2.3 分式型數列：可采用裂項法求和。此方法的特點是將原數列每一項拆為兩項之差，通過相加相消后，只剩下有限的幾項。

例4、（2010山東卷）已知等差數列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n項和為Sn.

（1）求an及Sn；（2）令bn=（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn.

解：（1）設等差數列{an}的公差為d，因為a3=7，a5+a7=26，所以有

，解得a1=3，d=2，

所以an=3+2（n-1）=2n+1；==。

（2）由（1）知an=2n+1，所以bn===，

所以，

即數列{bn}的前n項和。

注意：裂項時可采用待定系數法進行裂項，另外在相加相消的過程中，分清楚留下的項和消去的項。

2.4 其它求和方法：如倒序相加法，這是在推導等差數列求和公式時所用的方法，但這種方法在解題中很少應用。

3.數列求和的解題過程

通過以上的分析可看出，數列求和的關鍵不在于求和本身，而在于通項公式的求解。每一種方法使用的前提都和通項公式相關，每一種方法的選擇都是從通項公式的結構中觀察得來的，所以數列求和的解題步驟是：

（1）求通項公式an，（2）化簡整理an，

（3）依據an的結構選擇方法，下面是通項公式結構對應的方法：

an是等差、等比型則用公式法；an是加減組合形式則用分組求和法；

an是乘除組合形式則用錯位相減法；an是分式形式則用裂項法。

另外在近幾年的高考中，也出現了多種求和方法綜合在一起考查的例子，如：

例5、（2009全國卷）在數列{an}中，

（1）設，求數列{bn}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Sn

解：（1）由已知有

利用累差迭加即可求出數列{bn}的通項公式：（）

（2）由（1）知，

=

而，又是一個典型的錯位相減法模型，

易得用分組求和的方法得：∴Sn=n（n+1）+-4

綜上所述，依據通項公式的結構將求和數列進行分類，可使數列求和問題的求解具有規律性和針對性。同時我們也可看出，數列求和是一個復雜的問題，并非所有數列我們都能求和。在新課標中大多數求和的數列都是由我們所學過的等差、等比數列構造而來的新數列，因此數列求和問題的基本思想是以轉化為基礎，合理地進行變形，將新數列同我們所學過的等差、等比數列相聯系，從而達到以舊解新的目的。

參考文獻

[1]廣冬雁：數列求和十法數理化學習（高中版）

[2]葉鋒：淺談數列求和成都教育出版社