關于三解形不等式證明方法的探討

中圖分類號：G623.5

不等式的證明方法很多，比如：比較法、分析法、綜合法、放縮法等。對于證明三解形三邊關系不等式，我們可以用不同的方法加以證明。現就例舉具體的例子與大家一起探討：

一、特殊值法

例：已知a，b，c是△ABC的三條邊，比較大小（a+b+c）2 4（ab+bc+ca）。考慮這是填空題，不要過程，只求答案，所以這道完全可以用特殊值法求解。令△ABC是等邊三解形，且a=b=c=1，得（a+b+c）2=9，4（ab+bc+ca）=12，所以（a+b+c）2<4（ab+bc+ca）。

二、常規思維法

設a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

比較法

證法1

∵a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）

=a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2

=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2

=（a-b）2-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2

=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）

又∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a-b+c>0 a-b-c<0 c-a+b>0

c-a-b<0 c-b+a>0 c-b-a<0

∴（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）<0

∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

證法2∵ a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）

=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）

=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）

=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕

又∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a

利用同向正則不等式可以相乘，得到

∴a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0

∴ -〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0

∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

分析法

證法1：

∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a

利用同向正則不等式可以相乘，得到

a（b+c）>a2 b（a+c）>b2c（a+b）>c2

又∵ 2（ab+bc+ca）

=ab+ac+bc+ba+bc+ac

=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2

∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

在討論題目的證明過程中，有的同學想到了這樣的證明方法：

證法2

∵a，b，c為△ABC的三邊

∴|a-b|

∴（a-b）2

上述三個同向不等式相得

（a-b）+（b-c）2+（a-c）2

即a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

推論：已知a，b，c為△ABC的三邊，則關于x的不等式

x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集為R

證明：∵ a，b，c為△ABC的三邊

x2+（a+b+c）x+ab+ac+b

=（x+）2-+ab+ac+bc

=（x+）2+〔4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2〕

由前面的命題可知

（a+b+c）2-4（ab+ac+bc）

=a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）

=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）

=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）

=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0

∴4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2>0

又∵（x+）2>0

∴（x+）2+〔4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2〕>0恒成立

∴關于x的不等式x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集為R