線性方程組教學(xué)中應(yīng)用意思培養(yǎng)與引入MATLAB求解

摘要：本文針對線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題，在線性方程組的實(shí)際教學(xué)中的進(jìn)行嘗試，從實(shí)際應(yīng)用案例的引入，探討了如何進(jìn)行應(yīng)用意思的培養(yǎng)，并在教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)軟件MATLAB，滲透數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識能用到實(shí)際中去解決實(shí)際問題的觀點(diǎn)，從全新的視角闡述教學(xué)改革。

關(guān)鍵詞：線性方程組 教學(xué) MATLAB

中圖分類號：G623.5

一、 線性方程組教學(xué)中存在的問題

當(dāng)今知識創(chuàng)新與技術(shù)創(chuàng)新正成為時代的基本特征。學(xué)校培養(yǎng)的人才應(yīng)該具有很強(qiáng)的

自學(xué)能力與應(yīng)用意思，把學(xué)到的基礎(chǔ)知識能用到實(shí)際中去解決實(shí)際問題，也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中亟待研究的課題。目前線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容普遍還是采用學(xué)科體系，教學(xué)中過分強(qiáng)調(diào)知識知識的系統(tǒng)性、理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性，計(jì)算上強(qiáng)調(diào)技巧性，在知識的應(yīng)用上有所欠缺，造成學(xué)生學(xué)習(xí)無興趣，把數(shù)學(xué)看成是高不可攀屠龍之術(shù)，在一定程度上影響教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)中主要存在以下幾個問題：

1.重知識傳授缺少應(yīng)用知識能力

教師在實(shí)際教學(xué)中，往往強(qiáng)調(diào)知識的傳授的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性，以學(xué)科體系展開教學(xué)，注重理論的給出和計(jì)算方法與技巧的形成，而忽略知識的實(shí)際應(yīng)用。學(xué)習(xí)中學(xué)生往往形成\"我學(xué)它有什么用\"的疑問，一定程度上造成教學(xué)中出現(xiàn)理論與實(shí)際脫節(jié)。

2.教學(xué)方式缺少師生互動

一方面是理論性過強(qiáng)，學(xué)生很難跟上教師的節(jié)奏，\"滿堂灌\"的教學(xué)現(xiàn)象相當(dāng)普遍，缺少師生互動的教學(xué)，學(xué)生處于被動地位，學(xué)習(xí)效果與教學(xué)質(zhì)量當(dāng)然受到影響。培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、高效學(xué)習(xí)成為一句空話。

3.學(xué)生學(xué)習(xí)目的不清楚

線性代數(shù)一般都在大一開設(shè)，學(xué)生沒有學(xué)習(xí)專業(yè)知識，往往對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不明確，因而出現(xiàn)被動學(xué)習(xí)的情況，只求及格就萬事大吉，有的學(xué)生越學(xué)起沒興趣，覺得數(shù)學(xué)深奧難懂、枯燥無用，選擇放棄者有之。

諸此種種，說明教學(xué)上存在理論與實(shí)際脫離是根本問題。這些問題不解決，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生學(xué)習(xí)障礙，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是不可能的，更談不上培養(yǎng)創(chuàng)新人才。課堂教學(xué)的問題最終還是要在課堂上解決的。經(jīng)驗(yàn)告訴我們：只有培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，才能使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。而對學(xué)生來說，讓他們清楚地認(rèn)識到學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識能實(shí)實(shí)在在的解決實(shí)際問題，才能引起學(xué)生極大的興趣，投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。如何在縝密的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中融入相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用內(nèi)容，這正是我們要探討的問題，本文從一個側(cè)面：即線性方程組教學(xué)中應(yīng)用意思培養(yǎng)，在解線性方程組教學(xué)中引入兩個實(shí)例，并用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求解，嘗試解決以上三個問題。經(jīng)過幾年的實(shí)踐證明，在教學(xué)中收到良好了的教學(xué)效果。

二、 線性方程組教學(xué)中應(yīng)用問題的融入

怎樣在教學(xué)中適時適當(dāng)?shù)匾霊?yīng)用數(shù)學(xué)知識，在教學(xué)中鼓勵學(xué)生主動探索知識、發(fā)現(xiàn)知識，在嘗試探索知識的過程中實(shí)現(xiàn)主動學(xué)習(xí)呢？在我們準(zhǔn)備教學(xué)時大量地吸取應(yīng)用案例，通過再加工成為我們的教學(xué)內(nèi)容。

[案例1 ] 三家物流公司為運(yùn)輸需要，他們同意彼此實(shí)行資源共享，由于運(yùn)輸工具與成本各異，他們達(dá)成了如下協(xié)議：（1）每個公司總共工作10天（包括給自家公司工作）； （2）每個公司的應(yīng)得的日資金根據(jù)測算在60～80萬元之間；（3）每個公司的總收入與總支出相等.下表是他們協(xié)商后制定出的工作天數(shù)的分配方案，請你計(jì)算出他們每個公司應(yīng)得的日資金？

表1

針對這個問題進(jìn)行問題分析，把學(xué)生就近分成若干小組，進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)。

設(shè)分別表示公司應(yīng)得的日資金，由條件建立模型，得到線性方程組：

化簡得三家公司的日資金數(shù)應(yīng)滿足如下的齊次線性方程組：

解齊次線性方程組，得它的通解為

（為任意實(shí)數(shù)）.

最后，由于每個公司的日資金在60～80萬元之間，故選擇，則三家公司每天的日資金分別為62萬元、64萬元和72萬元.

這個過程由學(xué)生來完成，到化成齊次線性方程組時，學(xué)生深深體會到數(shù)學(xué)無處不在，求解之后更能體會到通解中\(zhòng)"為任意實(shí)數(shù)\"在實(shí)際問題中的涵義.

事實(shí)上，管理中存在大量可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的現(xiàn)實(shí)材料，我們循序漸進(jìn)地引入一些案例，融入知識的講授中，既可以使得課堂教學(xué)變得生動，又能體現(xiàn)\"從實(shí)際中來，到實(shí)際中去\"的原則，同時又是對\"數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的工具\(yùn)"這一教育特征的很好闡述。

教學(xué)的過程最好能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)為解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用過程。我們在教學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論來源于實(shí)踐，用于實(shí)踐解決實(shí)際問題，在現(xiàn)實(shí)生活中各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

大中城市交通擁堵的問題，可以說是世界許多城市遇到的難題。現(xiàn)在中國的許多城市也趕上了這一\"時代\"。要解決這個問題也用到我們的線性方程組去解決。

[案例2]圖1給出了某城市單行道的交通流量（每小時過車數(shù)）.

圖1

假設(shè) （1）全部流入一個節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量；（2）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量.試建立數(shù)學(xué)模型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量.

針對這個問題進(jìn)行問題分析，把學(xué)生就近分成若干小組，進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)。

由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)（1），對于各節(jié)點(diǎn)：流入與流出的流量相等，可列9個方程：

由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)（2），對于整個網(wǎng)絡(luò)：流入與流出的流量相等，可列1個方程：

綜合上述，所給問題滿足如下線性方程組：

解得非齊次線性方程組的通解為

其中為任意實(shí)數(shù).

取一組值，就得到一組交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量.它有無窮多個流量分布.如果布局不合理，就會產(chǎn)生交通擁堵。

在這個過程中學(xué)生親身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性，在解決問題中的必不可少。

三、引入軟件MATLAB求解線性方程組應(yīng)用問題

對于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模得到的線性方程組，學(xué)生往往更關(guān)注它的結(jié)果，在教學(xué)中不但要開啟一個很好的理論聯(lián)系實(shí)際的窗口，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生解決問題的辦法，就前面兩個案例求解過程用MATLAB軟件求解展示，對學(xué)生進(jìn)行學(xué)無止境的教育是起到事半功倍的作用。

首先學(xué)生對這兩個問題很感興趣，迫切地想知道最終的結(jié)果。但對于冗長的求解過程，很多學(xué)生會失去耐心。在教學(xué)中抽出一點(diǎn)時間，把MATLAB求解過程展示出來，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)一下子變得輕松了，感到線性代數(shù)不是枯燥或沉重壓抑的，增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)信心與動力，并能夠積極地學(xué)習(xí)和吸納計(jì)算機(jī)的新知識。

從以上兩個實(shí)際應(yīng)用中可以看到，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要以基礎(chǔ)性內(nèi)容為主線，將精選的實(shí)際案例與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，在結(jié)合中體現(xiàn)案例的引領(lǐng)作用，使課堂真正成為學(xué)生所喜歡，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法、模式改革的一項(xiàng)有價值的探討，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)興趣、探求新知識，并形成學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意思及對新方法（計(jì)算機(jī)軟件）的運(yùn)用也有興致，這恰好能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。