《勾股定理的應用》第1課時的案例分析與教學反思

公開課的教學設計往往是精彩的、有效的，它凝聚了開課教師、教研組及相關教學研究人員的心血，集中了大家的智慧，通過反復研討、修改、試講、試上等環節生成的。但即便是這樣，有時也難免有不足與遺憾。我曾開過《勾股定理的應用》第1課時的一節市級公開課，準備的過程中得到了來自市、區教研員以及本校同組教師的大力幫助，課后又聆聽了幾位資深教師的評課，受益匪淺。自己也做了一些反思，與大家分享。

[設計背景]

新課改下的數學教學要求“抓住數學本質、展示思維過程、落實主體地位”。根據這種課改精神，再來設計這節市級公開課的內容，我認為首先要培養學生的數學建模思想，讓學生經歷“問題情景—建立模型—解釋應用與拓展”的過程，將實際問題轉化為數學問題，進而歸類為在直角三角形中利用勾股定理求線段長度的問題。對問題的選擇也應盡可能是學生感興趣和熟悉的。通過問題串來引導學生自己找到解決的方法，并且及時歸納總結方法，同時注意通過題組訓練來鞏固對思想方法的內化運用。為了培養學生的學習興趣和探究意識，要給學生留有足夠時間和空間來動手操作、小組交流、獨立思考，同時還要多給學生展示自己數學潛質的機會。

[教學過程]

一、教學目標

知識與技能：能進一步運用勾股定理解決簡單的實際問題。

過程與方法：在解決簡單的實際問題中，感受數學建模、轉化的思想方法。

情感態度與價值觀：讓學生主動參與解決問題的過程，體會數學的應用價值。

二、教學重點和難點

重點：構造直角三角形，運用勾股定理解決問題。

難點：根據已知和未知的關系，建構方程，解決實際問題。

三、教學方法和手段

主要采用啟發引導、合作交流、演示反饋等教學方法，運用多媒體輔助教學。

四、教學過程

活動一：

1.情境引入

有一個圓柱狀的透明玻璃杯，由內部測得其底部半徑為3 cm，高為8 cm，今有一支12 cm長的吸管隨意放在杯中。如果不考慮吸管的粗細，那么吸管露出杯口外的長度至少為 cm。

2.學生活動

用下面兩個問題引導學生活動：

（1）你是怎樣解決這個問題的？

（2）找出直角三角形后下一步應怎么辦？

3.數學建構（初步）

（1）找出直角三角形；

（2）運用勾股定理求線段的長度。

設計意圖：從學生感興趣的情境入手，調動學生的積極性，讓學生初步感知本節課所要學習的內容，從而引入課題。

活動二：

1.例題教學

如圖，一架長10 m的梯子AB斜靠在墻上。梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么它的底端是否也滑動1 m？

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（1）學生思考交流解題思路，教師規范解題格式。

（2）變式：如果梯子的頂端下滑2 m，那么它的底端下滑了多少呢？（學生來完成并總結解題思路）

設計意圖：通過例題教學，引導學生分析如何將所求的線段轉化在直角三角形中利用勾股定理來解決。通過教師的規范板書，讓學生明確解題的書寫格式。

2.建構數學

（1）實際問題→數學問題→構造直角三角形→運用勾股定理→解決線段長度計算問題→解決數學問題→解決實際問題。

（2）實際問題→數學問題→解決數學問題→解決實際問題。

設計意圖：數學建模思想是數學中的一種重要思想方法，及時地歸納總結，讓學生領會這種思想方法，對于自己數學學習是很有幫助的。

3.數學應用

（1）有兩棵樹，一棵高8 m，另一棵高2 m，兩樹相距8 m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少m？

（2）如圖，圓柱的高為5 cm，底面周長為2 cm，在圓柱下底面有一只螞蟻，它從點A出發，沿著圓柱的表面爬行到對面的點B，它爬行的最短路程是 cm。

設計意圖：這兩題的設計主要是讓學生嘗試構造直角三角形。第一題實際是把一個直角三角形的問題轉化為一個矩形和一個直角三角形。而第二題的目的是為了讓學生明白要研究立體圖形的表面問題，就要將立體圖形的表面展開，轉化為平面圖形來研究。這兩題都涉及了初一所學的“兩點之間線段最短”，豐富了問題的研究性和趣味性。

活動三：

1.拓展延伸

在一次地震中，一棵20米高的大樹被折斷了，地震過后，測量了有關數據，測得樹梢著地點到樹根的距離為6米。這棵大樹折斷處離地面有多高？

設計意圖：本題是把實際問題轉化為數學問題，構造出直角三角形。已知直角三角形的一邊和另外兩邊的和。引導學生通過設未知數，根據勾股定理這個等量關系列出方程，滲透方程思想，進而求出未知線段的長度。

2.回顧反思

師生共同總結應用勾股定理解決簡單實際問題的方法。

活動四：

1.當堂反饋

（1）校園里有一塊長方形的草地，長4 m，寬3 m，草地旁有路，但有個別同學偶爾會走“近路”，從草地上走。經過計算我們會發現這樣只是少走 步而已（假如兩步合1 m）。

設計意圖：此題的設計一方面是為了簡單地利用勾股定理，另一方面是為了讓學生有一個愛護花草樹木的習慣，注意自己的舉止文明，滲透德育教學。

（2）已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，BC=10 cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE。求CD的長度。

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設計意圖：此題的設計是檢測折疊和利用勾股定理列方程的知識的運用。

2.布置作業

課本第68頁第4、5題，第7頁第14題。

設計意圖：作業主要是為了鞏固本節課所學知識，最后一題是為了讓學生探索研究在立體圖形中構造出兩個直角三角形，利用勾股定理求出線段的長度。

[教學反思]

一、增強應用意識，滲透數學建模思想

數學與現實生活密不可分，數學無時不在我們身邊，正如一位數學教育家所說：“數學是現實的，學生在現實生活中學習數學，再把學習的數學應用到現實中去。”從現實中尋找學習的素材，增強應用數學的意識，使學生感受數學就在我身邊。本節課所選取的問題背景都是學生熟悉的情景，讓學生體驗解決身邊問題的全過程，自己去研究探索，經歷數學建模過程，提高應用數學的意識和用數學解決實際問題的能力。

二、學會分析比只會解答更有效

《義務教育數學課程標準》要求：能通過觀察、實驗、類比等獲得數學猜想，進一步尋求證據、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有據；在與他人交流的過程中，能運用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑。

畢達哥拉斯曾說過：在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。可見分析問題能力的培養是多么重要。問題出示后，給學生足夠的思考時間，適當采用合作交流的輔助方式，然后組織學生在課堂中交流自己的思考歷程，并安排其他學生質疑與補充。這些措施的落實，能進一步拓寬學生分析問題能力的空間，提升學生的思維水平和思維層次。

三、恰當評價，呵護學生的學習熱情

要徹底解決學生在教學中的主體地位。教師必須轉變觀念以學生的“學”為出發點，將“自主探究、合作交流”的學習方式貫穿于課的始終，并將評價與教師的教和學生的學有機地融為一體。教師以一個參與者的身份積極參與交流與評價，可以為學生大膽探索、積極交流，創設寬松的心理環境，營造民主、平等、和諧的課堂氣氛。在我的課堂上學生經常是妙語連珠，積極發言，有時說錯了，只要加以引導都能開心坐下來。學生學習的熱情需要呵護。恰當地運用評價的激勵與促進作用，可以充分激發和調動學生學習的積極性和主動性，進而獲得理想的教學效果。

四、挖掘問題的內涵，重視教學的長效

課后幾位資深教師對本節課提出了一些中肯的建議。比如在題目的選擇上，有好幾題是關于最小值的問題，學生能否明白最小的理由，分析上要更加透徹些。在題目的選擇上要考慮得更周全些，課堂上的節奏再緊湊些，能否圍繞一個主題設計題目等等。總之，我還要在課堂教學的有效性上再繼續努力，使自己的教學質量進一步提升。

（作者單位 江蘇省南京市五塘中學）