一類三角問題的設(shè)計背景及解法探究

一、引言

分析數(shù)學(xué)問題的設(shè)計背景，在充分認(rèn)識的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生參悟問題的實質(zhì)，探究解題方法，達(dá)到“因一題知一類”的目的，把學(xué)生從“題海”中解放出來，從而有更多的時間去研究其他題型，有更大的空間去發(fā)展個性，這既是新課程改革的要求，也是學(xué)生進(jìn)行有效性學(xué)習(xí)的訴求。

二、一類三角問題的設(shè)計背景探究

我們先觀察一組高考題：

1.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值；

2.求sin220°+cos215°+sin20°cos15°的值；

3.求cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值；

4.求cos210°+cos250°+cos10°cos50°的值；

從上面試題的特點，我們可以看到這組題都屬于求解一類二次齊次式，而且不容易用輔助角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，但是從題的二次型來看，以上題的結(jié)構(gòu)都類似于余弦定理的右端，它們是否與余弦定理有內(nèi)在聯(lián)系呢？那么，我們首先看一下正弦定理和余弦定理的結(jié)構(gòu)形式，正弦定理：余弦定理：c2=a2+b2—2abcosC（其中三角形各角A，B，C所對的邊是a，b，c）。在△ABC中，將正余弦定理結(jié)合，可以得到：sin2C=sin2A+sin2B—2sinAsinBsinC，若賦予A，B，C某些不同的值，可以得到一系列類似于上述結(jié)構(gòu)的問題。

三、問題解法探究

以求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值為例探究這類三角問題的解題方法。

解法1：sin220°+cos250°+sin20°cos50°=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

構(gòu)造直徑為1的圓內(nèi)接三角形，三個角為20°，40°，120°，則sin20°，sin40°，sin120°可構(gòu)成三角形三邊長。

逆用余弦定理：sin220°+sin240°—2sin20°sin40°cos120°.

這種解法是從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過對結(jié)構(gòu)形式的分析，有效地利用正余弦定理的結(jié)論，顯然把問題簡化了，而且計算量也減少，大大節(jié)省了我們解題的時間。

解法2：設(shè)x=sin220°+cos250°+sin20°cos50°

y=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

則：x+y=2+sin70°

x—y=—cos40°+cos100°+sin（—30°）=—sin70°

即：2x，則原式.

這種解法是構(gòu)造對偶式，利用方程的思想去求解，在方法和思路上都很有創(chuàng)意，但是實際操作中對思維能力要求較高，另外，還要運用復(fù)雜的和差化積公式。

#這種解法是根據(jù)題目特點，正確選擇公式及進(jìn)行角的變換，使之出現(xiàn)特殊角的三角函數(shù)或出現(xiàn)抵消項、相約項。

從以上幾種解法來看，采用第一種解法最簡單，它是在弄清問題設(shè)計背景、本質(zhì)后直接“生成”的方法。這類問題還有其他解法，由于解法過程復(fù)雜，不再贅述，本文只是想起到一種拋磚引玉的目的，讓讀者重視對題目設(shè)計背景的探究，抓住本質(zhì)，找到有效的解題方法。

（作者單位 河南省開封市第二實驗高級中學(xué)）