以基本圖形為基礎(chǔ)的解題教學(xué)初探

本文針對初中幾何問題的教學(xué)，嘗試模型化方法，即以基本圖形為線索，構(gòu)建習(xí)題鏈接，從而使學(xué)生掌握利用基本圖形解決一類問題的方法。羅增儒教授指出：如果能夠辨別題目屬于熟悉的類型，就用該類型相應(yīng)的方法去解決（模式識別）；如果遇到不熟悉和費解的習(xí)題，不能直接轉(zhuǎn)化為熟悉的類型，那我們既可以“分解”，使每一個小問題都是熟悉的，又可以揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，使問題的實質(zhì)是熟悉的，同時還可以不間斷地改變習(xí)題，最終劃歸為已經(jīng)解決的問題。

本文基于上述觀點，進(jìn)行了探索。下面是筆者在幾何教學(xué)中所作的一點嘗試。

一、“建立以基本圖形為基礎(chǔ)的習(xí)題系列”的探索

把一個基本圖形放在各種不同的圖形背景中，構(gòu)造出一系列數(shù)學(xué)問題，然而筆者認(rèn)為要遵循循序漸進(jìn)的原則，進(jìn)行變式練習(xí)，先形成主干，再逐步添加枝葉。下面以“線段和最小”問題舉例說明。

在初中幾何中，解決“線段和最小”問題有兩個基本依據(jù)，分別是“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”。

1.以“兩點之間線段最短”為依據(jù)，有下列基本圖形及其系列

原形是八年級上冊數(shù)學(xué)書中的“線段和最小”問題。

對于基本圖形的教學(xué)，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}

情境，學(xué)生的印象更加深刻。筆者把教材中

的問題改編成“將軍飲馬”問題，學(xué)生興趣很

濃，由“營地”“河流”“牧場”三者位置關(guān)系的

變化，得到不同的變式。以下是從問題情境

中，抽象出的基本數(shù)學(xué)問題。

基本圖形1：如圖1，已知直線a和其同側(cè)兩點A、B，在直線a上作點C，使AC+BC最小。

特點：利用軸對稱將直線同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩點，從而把“求折線段和的最小值”問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”問題。

結(jié)合學(xué)生在不斷解題過程中遇到的問題，歸納出基本圖形的應(yīng)用范圍：（1）凡是具有軸對稱性的圖形都可以直接用此模型。（2）數(shù)形結(jié)合，把基本圖形放到直角坐標(biāo)系中。（3）對基本圖形進(jìn)行引申、拓展，放到不同圖形背景中。

基本圖形系列教學(xué)中，解決問題的關(guān)鍵是：如何在較復(fù)雜的背景中，引導(dǎo)學(xué)生揭示問題的本質(zhì)，從而找到基本圖形？下面舉例說明。

例1.已知A（2，—3），B（4，—1）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩點。

（1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，則當(dāng)p= 時，△PAB的周長最短；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當(dāng)a= 時，四邊形ABDC的周長最短；

分析：對于問題（1），學(xué)生能快速識別基本圖形并立刻找到解題方法：如圖1—1，作A關(guān)于x軸的對稱點A′（2，3），連接A′B，直線A′B：y=—2x+7與x軸交點的橫坐標(biāo)即為所求。

對于問題（2），雖有關(guān)鍵詞“四邊形的周長最短”，但學(xué)生無法直接用基本圖形。因此解決問題（2）的關(guān)鍵在于：揭示問題的本質(zhì)，把“四邊形的周長最短”轉(zhuǎn)化為基本圖形中“兩條線段的和最短”。如何轉(zhuǎn)化呢？

這里介紹一種“圖示分析法”：先假設(shè)滿足條件的點或圖形已找到，并畫出示意圖，借助示意圖分析得出需要找的點或圖形的準(zhǔn)確作法。這種方法在解決某些作圖問題中很有效。

引導(dǎo)學(xué)生采用圖示法進(jìn)行分析，如圖1—2，假設(shè)滿足“四邊形ABDC的周長最短”的點C、D已找出，則AC+BD最短。與基本圖形相比，有兩個動點C、D，怎樣把兩個點“合二為一”同時又不改變線段AC、BD的長度和方向？這可以通過平移實現(xiàn)：將BD向左平移3個單位（CD的長）得到B′C，將D與C“粘在一起”，則問題轉(zhuǎn)化為AC+B′C最短。（將AC向右平移3個單位也可以）

實際上，原圖中并沒有畫出C、D，通過上面的圖示分析法，可知：“平移BD”相當(dāng)于“平移點B”。因此，準(zhǔn)確的作圖方法是：如圖1—1，把點B向左平移3個單位得到點B′，然后解決“在x軸上求點C使得AC+B′C最短”的問題，從而轉(zhuǎn)化為第（1）題的類型，問題得到解決。

在解決了不同背景的問題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生及時反思，回歸基本圖形，這樣就能夠不斷豐富基本圖形系列，對這個系列的問題形成一般方法，并且產(chǎn)生輻射，能夠預(yù)見新的問題背景。

2.以“垂線段最短”為依據(jù)，有下列基本圖形及其系列

基本圖形2：如圖2，已知點A在銳角∠MON

的邊OM上，分別在ON、OM上取點P、Q，使得

AP+PQ最小。

由“垂線段最短”可得如下等價形式：

已知點A在銳角∠MON的邊OM上，在ON上取點P，作PQ⊥OM于Q，使得AP+PQ最小。

分析：雖然也是“線段和最小”，但不同于基本圖形1；那么，能否借鑒其解決方法——利用軸對稱將直線同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩點呢？由此想到：作點A關(guān)于直線ON的對稱點A′，原問題轉(zhuǎn)化為“在ON、OM上各取一點P、Q，使A′P+PQ的值最小”，易得解決方案：過A′作A′O⊥OM于Q，交ON于P，點P、Q即為所求，且AP+PQ的最小值為線段A′Q的長度。

特點：以角為背景，需確定有依存關(guān)系的兩個動點，通過軸對稱變換，將線段和最短轉(zhuǎn)化為點到直線垂線段最短。

例2.如圖2—1，在銳角△ABC中，AB=4，

∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD

和AB上的動點，求BM+MN的最小值。

分析：學(xué)生由“角”“兩個動點”及“線段和最小”

三個特征識別出基本圖形，進(jìn)而找到解題方法。

例3.如圖2—2，已知矩形ABCD中，AB=1，

BC=2，若在AC、BC上各取一點N、M，使BN+

MN的值最小，求這個最小值。

分析：進(jìn)行模型識別后，得出解決問題方案：作B′M⊥BC于M交AC于N，則BN+MN的值最小為線段B′M的長度。由面積法和軸對稱性質(zhì)得BB′=，再由△ABC∽△BMB′可得B′M=。

以上兩題，學(xué)生能夠抓住關(guān)鍵詞，較快地進(jìn)行模式識別，從而找到解題方法。下面再次舉例說明：在教學(xué)中，如何從復(fù)雜的背景中，揭示問題本質(zhì)，逐步轉(zhuǎn)化為基本圖形。

例4.2009北京中考第25題第（3）問

（根據(jù)需要作了調(diào)整）：如圖2—3，在平面直

角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個頂點的坐標(biāo)

分別為A（—6，0），B（6，0），C（0，4），

延長AC到點D，使CD=0.5AC，過點D作

DE∥AB交BC的延長線于點E。

（3）設(shè)G為y軸上一點，點P從M（0，6）出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點，再沿GA到達(dá)A點，若P點在y軸上運(yùn)動的速度是它在直線GA上運(yùn)動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達(dá)A點所用的時間最短。

分析：問題（3）對于學(xué)生來說，屬于“不熟悉和費解的習(xí)題，不能直接轉(zhuǎn)化為熟悉的類型”，并且不能夠“分解”為幾個熟悉的小問題，由“所用的時間最短”聯(lián)想初中數(shù)學(xué)中常見的最值問題：二次函數(shù)；“線段和最小”問題系列：基本圖形1和2。

首先，需要揭示問題的本質(zhì)。

通過分析，得出：所求與速度的具體值無關(guān)，僅與速度的比值有關(guān)，因此不妨設(shè)P點在直線GA上的運(yùn)動速度是1，在y軸上的運(yùn)動速度是2，同時可以去掉坐標(biāo)系的背景，實現(xiàn)問題的第一次轉(zhuǎn)化。原問題轉(zhuǎn)化為：

問題1：如圖2—4，已知AO⊥MO，AO=6，MO=6，

G為線段MO上一動點，求使AG+0.5MG的值最小時點

G的位置。

問題1還不是學(xué)生所熟悉的，還需要進(jìn)一步改編。通過對比聯(lián)想，逐步靠近目標(biāo)。問題1與“線段和最小”問題相比，需要把0.5MG進(jìn)行等量代換為一條線段，該線段與AG在OM同側(cè)或異側(cè)。聯(lián)想到含30°角的直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半，把MG當(dāng)斜邊，借助由（2）所得的∠OMB=30°，過G作GN⊥BM于N，則0.5MG=GN。通過改編，實現(xiàn)問題的第二次轉(zhuǎn)化，問題1進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

問題2：如圖2—5，已知AO⊥MO，AO=6，

MO=6，∠OMB=30°，G為線段MO上一

動點，GN⊥BM于N，求使AG+GN的值最小時

點G的位置。

或由A，B關(guān)于OM對稱，將問題轉(zhuǎn)化為：

問題2′：如圖2—5，已知點B為∠OMB=30°的邊OB上一點，G為MO上一動點，GN⊥BM于N，求使BG+GN的值最小時點G的位置。

至此，通過改編習(xí)題，兩次轉(zhuǎn)化，揭示出了問題的深層結(jié)構(gòu)，最終化歸為基本圖形2。

通過上述解題過程的分析，認(rèn)清了題目結(jié)構(gòu)，并對其解法有了更深刻的理解。在解決上述問題中，進(jìn)行了一系列問題轉(zhuǎn)化，最終把“速度和最小”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的“線段和最小”，其中運(yùn)用了含30°角的直角三角形中斜邊與直角邊的關(guān)系。

接著進(jìn)一步反思：上述解法是否具有一般性？問題的圖形結(jié)構(gòu)能否改變，命題的條件能否弱化或加強(qiáng)，結(jié)論能否拓展、引申與推廣？于是，得到如下更一般的拓展形式。

問題3：在原問題（3）中，點P的運(yùn)動速度改變?yōu)椤癙點在y軸上運(yùn)動的速度與它在直線GA上運(yùn)動速度之比為n∶m（m，n為正整數(shù)）”，去掉AO、MO的具體值，其他條件不變。

分析：仍采用原來的方法，設(shè)P點在直線GA上的運(yùn)動速度是1，則P點在y軸上的運(yùn)動的速度是，將問題3轉(zhuǎn)化為：

問題4：如圖2—6，已知AO⊥MO，G為線段MO上一動點，求使AG+的值最小時點G的位置。

分析：這時要將進(jìn)行等量代換，類比問題1的方法，借助直角三角形，但沒有特殊角，如何找到線段MG轉(zhuǎn)化的方sinM。

由此得到構(gòu)造方向角的方法：如圖2—8，作Rt△O′MF′，使（當(dāng)m，n較小時，也可以直接作O′F′=m，M′F′=n），即sinM′。作∠OMF=∠M′，過G作GN⊥MF于N，則=GN，問題4轉(zhuǎn)化為基本。

二、初中畢業(yè)考或中考中兩個常見的基本圖形

基本圖形3：等腰三角形底邊上的點到兩腰的距離之和等于腰上的高。

使用范圍：凡是能夠出現(xiàn)或構(gòu)造等腰三角形的圖形中都可以直接用此模型，如矩形、正方形、菱形、等腰梯形、圓等等，可以形成系列。

基本圖形4：如右圖，正方形ABCD的邊長為a，∠EAF繞點A在∠BAD內(nèi)旋轉(zhuǎn)，分別交BC、CD于E、F兩點。若∠EAF=45°，則有下列結(jié)論：（1）EF=BE+DF；（2）C△CEF=2a；（3）EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE；（4）若AH⊥EF，則AH=a。

把條件中的∠EAF=45°[記為（5）]，替換為（1）到（4）中的任何一個皆可。即在正方形的前提下，條件（1）到（5）是等價的。

教師在教學(xué)過程中通過典型題目，引導(dǎo)學(xué)生多思考、多歸納、多聯(lián)想，從中找出其本質(zhì)，歸納出基本圖形；并且在解題后，及時進(jìn)行解題反思，不僅可以深化學(xué)生對問題的理解，優(yōu)化思維過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可提高學(xué)生自主探究、分析解決問題的創(chuàng)新思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).歐陽絳，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]羅增儒.什么是數(shù)學(xué)解題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.陜西師范大學(xué)出版社，2009：1—2.

[3]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐.廣西教育出版社，2008（09）.

（作者單位 北京市第五中學(xué)分校）