問題式教學在課堂

一、創設情境，引入新課

教師：在初中，我們學習了一元二次方程，也學習了二次函數及其圖象，現在請同學們完成下列表格：

教師：問題1，一元二次方程的根與其對應二次函數圖象有什么關系？

學生：方程的根是函數圖象與x軸交點的橫坐標。

教師：問題2，若把上述方程改為一般的一元二次方程及對應的二次函數，還成立嗎？

學生討論，得出：

（1）？駐>0時，方程有兩個不相等的實數根x1，x2，相應的二次函數的圖象與x軸有兩個交點（x1，0），（x2，0）；

（2）？駐=0時，方程有兩個相等的實數根x1=x2，相應的二次函數的圖象與x軸有唯一個交點（x1，0）；

（3）？駐<0時，方程沒有實數根，相應的二次函數的圖象與x軸沒有交點。

教師：問題3，把這種關系推廣到更一般的情形函數y=f（x）的圖象與對應方程f（x）=0，還成立嗎？（鼓勵學生用已學過的函數去驗證）

二、過程感知，得出概念

教師：函數零點的概念：

對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點。

由我們上面的討論可知：方程f（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）的圖象與x軸有交點？圳函數y=f（x）有零點。

教師：問題4，零點是點嗎？

學生：不是，是實數。

教師：問題5，求零點的方法

師生共同探討得出：

（1）令f（x）=0；

（2）求y=f（x）與x軸交點的橫坐標。

教師：總結，由上可知，我們遇到零點問題可以從數和形兩個角度去考慮。遇到方程可解，求零點就是解方程，如一次函數、二次函數、對數函數、指數函數。若不是這些函數呢？

教師：問題6，探討f（x）=lnx+2x—6的零點個數。

學生：解方程無法解，畫圖象不好畫，兩個角度都不行。

三、層層設問，加深理解

教師：請同學們再返回我們剛開始的問題1中，認真觀察零點左右的函數值有什么變化。

（學生討論）

學生1：y=x2—2x—3中f（—2）·f（1）<0，函數在（—2，1）有零點—1。

學生2：y=x2—2x—3中f（2）·f（4）<0，函數在（2，4）有零點3。

教師：那么能不能說當f（a）·f（b）<0時，f（x）在[a，b]上有零點？

學生1：好像可以。

學生2：有點問題，如f（x）中f（—1）·f（1）<0，但f（x）在[—1，1]上沒有零點。

教師：很好，那什么情況下就一定有零點呢？

學生討論，得出零點存在性定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間[a，b]內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

學生：問題1中，f（x）=x2—2x+1有零點1，但f（x）≥0。

教師：問得好，這里反映出一個問題，也就說只有當函數圖象穿過x軸，上述方法才有效，才可以用這個方法去找函數的零點。反過來，函數在[a，b]上有零點，不一定有f（a）·f（b）<0。

教師：問題7，若f（a）·f（b）<0，y=f（x）在[a，b]只有一個零點嗎？

學生：不一定，如圖所示，可能有還多個零點。

教師：問題8，那么什么時候只有一個零點呢？

學生：函數圖象不拐彎時。

教師：不拐彎說明函數有什么性質？用我們學過的數學語言怎么表述？

學生：當函數單調時。

教師：現在我們來解決問題6，f（x）=lnx+2x—6的零點個數。

學生：顯然定義域為{x|x>0}，

∵f（1）=—4<0，f（3）=ln3>0，

∴f（1）·f（3）<0，

∴f（x）=lnx+2x—6在（1，3）上有零點。

又因為f（x）=lnx+2x—6在定義域上是增函數，所以只有一個零點。

四、通過練習，鞏固概念

練習：探討下列函數零點所在區間。

（1）f（x）=—x3—3x+5

（2）f（x）=2x·ln（x—2）—3

（3）f（x）=ex—1+4x—4

教師：今天我們收獲很大，從我們最熟悉的二次函數和一元二次方程出發，探究了方程的根與函數零點的關系，并且得出零點的存在性定理，既解決了找尋一般函數的零點問題，又為我們后邊學習二分法打好了基礎。

思考題：還能從其他角度解決f（x）=lnx+2x—6的零點問題嗎？請同學們課后思考。

五、課后反思

本節課是教材新加入的東西，用函數的觀點來看待方程，這是一種重要的數學思想，這種思想可以幫助我們發現求解方程的多種方法，所以必須讓學生在學習之初就樹立正確思想。為此，我采用了問題式教學，用已有知識去探究新知識，然后層層遞進，讓學生在很自然的狀態下不知不覺地接受新知識，問題的設置也是水到渠成，設置的臺階不是很高，讓學生剛好能探到，遇到比較難的地方，我也有意把它分解，所以整節課過程緊湊、節奏感強，學生對課內知識應當理解透徹了，課后也證明了這一點。

值得的商榷的是，實際上，本節課的內容還有外延，怎樣能讓學生發現并努力去解決呢？也就是說利用問題式教學，要想最大限度培養學生觀察、歸納的綜合能力，除了用問題引領學生思考探究，還有沒有更為開闊的課堂模式能讓學生主動學習、主動尋求問題，給學生更大的自由發揮的空間呢？在以后的教學中，如有合適的課型，我一定努力嘗試，爭取在講求課堂教學多樣化的同時，更加注重學生主動探究、主動解決問題的能力，讓老師輕松地教，學生高效地學。

（作者單位 山西省臨汾市第一中學）