淺析三角形形狀的判定

三角形形狀的判定是解三角形的重要內容，也是高考的一個重要考點，本文從常見的幾種類型分析三角形形狀的判定。

一、利用三角函數

例1.在△ABC中，已知：sinA×tanB<0，那么這個三角形是

（ ）

A.直角三角形 B.銳角三角形

C.鈍角三角形 D.以上結論都不對

解析：因為sinA×tanB<0，所以sinA和tanB異號，

又0°0，tanB<0，

所以∠B為鈍角，故△ABC為鈍角三角形。應選C。

例2.在△ABC中，已知cosA·cosB>sinA·sinB，則△ABC是

（ ）

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形

解析：cosA·cosB>sinA·sinB？圳cos（A+B）>0，

∴ A+B<90°，∴C>90°，C為鈍角。應選C。

例3.在△ABC中，如果sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosA

cosB=2，則△ABC是（ ）

A.等邊三角形 B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形

解析：由已知，得cos（A—B）+sin（A+B）=2，

又cos（A—B）≤1，sin（A+B）≤1，

故cos（A—B）=1且sin（A+B）=1，

即A=B且A+B=90°，故選C。

二、利用平面向量

三、利用正弦、余弦定理

例6.（2012年上海理）在△ABC中，若sin2A·sin2B

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不能確定

解析：由條件結合正弦定理，得a2+b2

例7.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC為（ ）

A.直角三角形 B.等腰直角三角形

C.等邊三角形 D.等腰三角形

解析：sin2A=sin2B+sin2C？圳（2R）2sin2A=（2R）2sin2B+（2R）2sin2C，即a2=b2+c2，由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形。故選A。

A.直角三角形 B.等邊三角形

C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形

例9.在△ABC中，a=2bcosC，則這個三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

解析：由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，

∴ sin（B+C）=2sinBcosC，

∴ sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

∴ sin（B—C）=0，∴B=C，故選A。

A.正三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

利用正、余弦定理判斷三角形形狀主要有以下兩種途徑：

（1）利用正、余弦定理，把已知條件轉化為邊邊關系，然后通過因式分解、配方等方法，得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀。

（2）利用正、余弦定理，把已知條件轉化為角角關系，然后通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀。

四、利用二次函數性質

例11.設∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內角，∠C是銳角，若關于x的方程x2—（2sin∠C）x+sinAsinB=0有兩個相等的實根，且 4sin2∠C+4cos∠C—5=0，求證：△ABC為等邊三角形。

證明：因為方程x2—（2sin∠C）x+sinAsinB=0有兩個相等的實根，所以？駐=（2sinC）2—4sinAsinB=0，

根據正弦定理，得：c2—ab=0，所以c2 = ab，

由4sin2∠C+4cos∠C—5=0，

得：4（1—cos2C）+4cosC—5=0，即：4cos2C—4cosC+1=0，

又因為∠C為銳角，

所以：∠C=60°

再根據余弦定理，得：c2=a2+b2—2abcos60°，

即c2=a2+b2—ab，所以a2+b2—ab=ab，故（a—b）2=0，所以a=b，

所以△ABC為等邊三角形。

綜上所述，判定三角形的形狀時，必須熟練掌握三角形邊與邊、邊與角之間的關系，在具體解題時要分析清楚題目所給的條件與課本所學過的知識點之間的聯系，從而正確使用所學知識，以達到解決問題的目的。

（作者單位 江西省宜春三中）