關注數學的實際應用

選擇合適的素材，恰當地考查以數學知識作為工具解決有關實際應用問題，是我們陜西省新課標高考試題考查的一個重要方向，應引起足夠的重視。為此，我特選取以下未考查過的幾個類型加以解析（已經考過的有：線性規劃的實際應用、數列與二次函數的實際應用、拋物線的實際應用）。

一、考查三角函數的實際應用

解析：三角函數模型的應用，可轉化為最值和周期性問題。由題意可知水輪上的點到水面的距離最大為5+10=15，最小為—10+5=—5。所以A+k=15，—A+k=—5，解得A=10，k=5。

評注：結合圖形去理解題意，有利于迅速找到題解的突破口。

二、考查解三角形的實際應用

例2.在中華人民共和國成立60周年慶典活動中，外國使節是在天安門城樓兩側臨時搭建的看臺上觀看閱兵式的。已知看臺的坡度為15°，在同一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排與最后一排的距離為26.6米（如圖2所示），求測量的旗桿高度。

解析：∵由圖2知∠ADC=30°+15°=45°，∠DCA=180°—15°—60°=105°

∴在△ACD中，由內角和定理得∠DAC=180°—45°—105°=30°。

又CD=26.6米，于是在△ACD中由正弦定理，得：

評注：本題具有濃郁的時代氣息，審清題意轉化為純數學問題之后，主要考查正弦定理及解直角三角形知識的靈活應用。

三、考查立體幾何與導數的實際應用

例3.北京時間2011年3月11日13時46分，在日本本州東海岸附近海域發生9級地震，災區安置點急需帳篷。某公司迅速集結，組織設計人員為深入災區一線的軍民設計了一款帳篷，并立即投入生產。要求：帳篷下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3 m的正六棱錐，要使帳篷的體積最大，這個帳篷的頂點O到底面中心O1的距離應設計為多少m？

解析：設OO1（單位：m），則1

故要使帳篷的體積最大，這個帳篷的頂點O到底面中心O1的距離應設計為2 m。

評注：本題具有綜合性，首先要利用立體幾何知識得到帳篷的體積關于“距離”的函數表達式，然后再借助導數知識即可使原問題順利獲解。

四、考查統計與概率的實際應用

例4.為抗擊金融風暴，某系統決定對所屬企業給予低息貸款扶持。該系統制訂了評分標準，并根據標準對企業進行評估。然后依據評估得分將這些企業分別定為優秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據等級分配相應的低息貸款數額。為了更好地掌握貸款總額，該系統隨機抽查了所屬的部分企業。以下圖表給出了有關數據（將頻率看作概率）：

（1）任抽一家所屬企業，求抽到的企業等級是優秀或良好的概率。

（2）對照標準，部分企業進行了整改。整改后，優秀企業數量不變，不合格企業、合格企業、良好企業的數量成等差數列。要使所屬企業獲得貸款的平均值（即數學期望）不低于410萬元，試求整改后不合格企業占企業總數百分比的最大值。

解析：（1）設任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業、優秀企業的概率分別是p1，p2，p3，p4，則根據頻率分布直方圖可知p1=0.015×10=0.15，p2=0.04×10=0.4，p3=0.02×10=0.2，p4=0.025×10=0.25。

故抽到的企業是優秀或良好企業的概率是：

p3+p4=0.2+0.25=0.45。

（2）設整改后，任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業的概率分別為a，b，c，

則：∵整改后，不合格企業、合格企業、良好企業的數量成等差數列，

∴a，b，c也成等差數列，即2b=a+c。

又a+b+c+0.25=1，

∴b=0.25，a+c=0.5。

設整改后一家企業獲得的低息貸款為ξ萬元，則ξ的分布列是：

于是，Eξ=0×a+200×0.25+400×c+800×0.25=250+400c。

又由已知得Eξ≥410，∴250+400c≥410，

解得c≥40%，從而a≤10%。

故整改后不合格企業占企業總數百分比的最大值為10%。

點評：本題主要考查統計與概率的綜合，以及靈活運用數學期望解決相關實際問題。讀懂所給“圖表”是解決問題的切入點，理清實際問題的具體情景是準確求解的根本保證。

綜上所述，關注數學的實際應用，有利于增強我們運用數學的意識，學會將實際問題抽象為數學問題，進一步感受數學的應用價值。

（作者單位 陜西省西安臨潼鐵路中學）