由一道課本習題引發的探究

《普通高級中學教科書（必修）數學第一冊（下）》第101頁“復習參考題B組”第7題（1）：筆者在上第四章《三角函數》的習題課時，給學生講了這道題。結果出了些“意外”，一節大課僅講了這么一道小題。但在這大小之間，我和我的學生都得到了一次難得的“人生經歷”。

我和同學們首先共同完成了這道題的常規證法：證法一（左—右=0）、證法二（右→左）。然后賣關子，“大家還有沒有其他的證法呢？”學生七嘴八舌地談起了自己的高見，其中也包括我想介紹給他們的證法三：

因為上式顯然成立，所以原等式成立。

這時，我故弄玄虛地說道：“大家看這個證法的第二步，是不是一個分式在它的分子、分母上分別減去一個三角函數值，整個分式的值不變。”同學們看了看，驚訝地說：“還真是的，這個分式不就是嗎？”這時，我乘勝追擊，總結道：“從這一點上我們要意識到，在以后的數學學習過程中，不能只是就題論題，為了做題而做題，而要在做完題后，再反思一下，再觀察一下，再思考一下，看看通過這道題我們學到了什么？還獲得了什么？只有這樣，我們才能做到‘做了一道題，會了一類題，從而達到減輕學習負擔’的目的。”然后心里美滋滋地打算講第2小題。

但我的話音剛落，一位學生就猛地站了起來，“老師，第三步到第四步要是只提出和，就給這道題降次了。”我仔細看了看，還真是這樣。

看到了最后的這個結論，我的第一反應就是這個結果很有探究價值，于是便引導學生繼續看這個問題，看看再有沒有其他的發現。

同學們有的做沉思狀，有的拿起了紙筆開始運算，有的干脆和周圍的同學展開了激烈的討論。

接著，一位學生發言道：“老師，中的2可以換成任意實數x，這一點可以從黑板上的證明過程中得到。”

我和其他同學經過短暫的思考，對這位同學報以了贊同的掌聲。“很好，xxx同學得到了一個很有意義的結論，給分式的分子、分母分別減去任意實數倍的sinA和cosA，所得分式的值不變。我看這個結論可以叫做xxx公式了。”

聽到這個叫法后，同學們更是群情振奮，都躍躍欲試地想獲得以自己名字命名的公式。我及時地把握住時機，向學生拋出了一個信號：“我們總共學過多少種三角函數？其他三角函數有沒有類似的性質呢？”

大家恍然大悟，都停止了討論，提筆埋頭苦算。結果我們一共得到了12個類似的三角恒等式，一一列舉如下：

這真是一筆意外的財富啊！我從心里感慨道！

這時，又有一位學生說話了：“老師，我發現這些恒等式和我們學過的‘三角六邊形’好像有些關系。”

“三角六邊形”就是大家熟知的同角三角函數基本關系的記憶圖。

她說不清楚，就干脆上黑板自己畫了起來。

這時第一個恒等式對應的圖：

這是第二個恒等式對應的圖：

我的心被震撼了，我完全相信了一句教育界常說的話：不管是怎樣的學生，都蘊藏著無限的潛能。

我和同學們一起給這個陰影起了個名字，叫做“三角六邊形的對角矩形”。

于是，我們得到了這樣一個定理：在三角六邊形的對角矩形中任取相鄰的兩個三角函數，組成一個分式，分子、分母同減（加）任意實數倍的相鄰三角函數，所得分式的值不變。

有同學提議把這個性質叫做三角分式的不變性，也有同學說，我們以前研究過函數的不動點問題，應該叫三角分式的不動性，這樣顯得專業些。

于是，同學們有了自己有生以來第一個參與研究并命名的定理——三角分式的不動性定理。

（作者單位 甘肅省蘭州市第六十六中學）