同底的指數函數與對數函數的圖象有幾個交點

函數y=ax與y=logax（a>0，a≠1）的圖象有幾個交點？自《普通高中課程標準實驗教科書·蘇教版·數學必修1》提出這個問題以后，引起了中學數學教師的廣泛關注。

2006年第2版《蘇教版·數學必修1》第80頁的例5和探究的內容是：

例5：分別就a=2，a=■和a=■畫出函數y=ax與y=logax的圖象，并求方程ax=logax解的個數。

探究：當0

教材提示利用Excel、圖形計算器或其他畫圖軟件（教學過程中一般用幾何畫板），在同一坐標系中分別就a=2，a=■和a=■時畫出函數y=ax與y=logax的圖象，通過觀察，發現：在這三種情況下，兩個函數圖象的交點個數分別為0，2，1，從而方程ax=logax解的個數分別為0，2，1。

作為探究，用幾何畫板演示，可以發現：當0

但問題是：這兩個函數的圖象到底有幾個交點？會不會有4個公共點？交點個數變化時，底數a的臨界值是什么？怎樣找底數a的臨界值呢？

一、幾個基本結論

1.y=ax與y=logax互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱。如果函數y=logax的圖象與直線y=x相交，那么交點必定在函數y=ax的圖象上。同樣，如果函數y=ax的圖象與直線y=x相交，那么交點必定在函數y=logax的圖象上。

2.函數y=ax是凹函數，它的圖象在其任意一條切線的上方。證明如下：

由y=ax，得y′=axlna，y″=ax（lna）2。

因為對任意的x∈R，都有ax>0，且（lna）2>0，所以y″>0，

所以，函數y=ax是凹函數。

3.（1）當a>1時，函數y=logax是凸函數，它的圖象在其任意一條切線的下方；（2）當0

證明如下：

由y=logax，得y′=■（x>0），y″=—■（x>0）。

因為對任意的x∈（0，+∞），都有x2>0，所以當a>1時，有lna>0，所以y″<0，所以，函數y=logax是凸函數；當00，所以，函數y=logax是凹函數。

二、對函數y=ax與y=logax圖象的交點個數情況的研究

1.當a>1時，函數函數y=ax的圖象與直線y=x可能相交，也可能不相交。

當a>1時，由于方程ax=x與x=logax是同解方程，所以只要研究方程x=logax的解的情況，即lna=■解的情況。

設函數f（x）=■，則f ′（x）=■=■。

令f ′（x）=0，得x=e。

當0e時，f ′（x）>0，所以，當x=e時，f（x）=■有最大值■。

因此，當lna>■時，即a>e■時，方程x=logax無解，從而函數y=logax的圖象在直線y=x的下方，函數y=ax的圖象在直線y=x的上方，因此，函數y=ax與y=logax的圖象沒有公共點。如圖1所示。

當lna=■，即a=e ■時，函數y=ax與y=logax的圖象恰有一個交點。如圖2所示。

當lna<■，即1

■

2.當0

設函數y=ax與y=logax的圖象在直線y=x外的兩個交點為A（m，n），B（n，m），則直線AB的斜率為—1。設直線AB的方程為y=—x+b，當A，B重合為點P時，直線AB為函數y=ax與y=logax圖象的公切線，且P在對稱軸所在的直線y=x上。

由y=logax，得y′=■。

令■=—1，得x=—■。

所以，點P的坐標為[—■，loga（—■）]。

由loga（—■）=—■，得■=—■，即ln（—lna）=1，即—lna=e，解得a=e—e。

此時，點P的坐標為（e—1，e—1），函數y=ax與y=logax圖象的公切線的方程為y=2e—1—x。

（1）當e—e≤a<1時，函數y=ax與y=logax的圖象恰有一個交點。如圖4所示。

（2）當0

■

三、函數y=ax與y=logax的圖象的交點個數與底數的關系

1.當a>e ■時，函數y=ax與y=logax的圖象無交點。

2.當a=e ■或e—e≤a<1時，函數y=ax與y=logax的圖象恰有一個交點。

3.當1

4.當0

參考文獻：

單墫.普通高中課程標準實驗教科書《數學1》[M].南京：江蘇教育出版社，2006：80—81.

（作者單位 江蘇省南京市金陵中學）