例談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

摘要：導(dǎo)數(shù)作為一個重要概念，自從引入中學(xué)數(shù)學(xué)教材后，給傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容注入了新的生機與活力。如何更好地利用它重新認識原課程中的有關(guān)問題并為解題提供新的途徑和方法已經(jīng)成為一個嶄新課題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；教學(xué)策略

一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域

求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點和難點，方法因題而異，不易掌握。但是如果采用導(dǎo)數(shù)來求解，則較為容易，且一般問題都可行。

二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮f′（x）的正負即可，簡單快捷而且適用面廣。

由f′（x）>0，得x<—1或x>1；

又由f′（x）<0，得—1

所以f（x）的增區(qū)間為（—∞，—1）和（1，+∞），減區(qū)間為（—1，0）和（0，1）。

三、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題

縱觀這幾年的高考，凡涉及不等式證明的問題，其綜合性強、思維量大，因此歷來是高考的難點。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。

四、利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列求和問題

數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，再運用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列求和的有關(guān)問題。

例4.求和：1+2x+3x2+…+nxn—1（其中x≠0，x≠1）

解：注意到nxn—1是xn的導(dǎo)數(shù)，即（xn）′=nxn—1，可先求數(shù)列xn的前n項和

然后等式兩邊同時對x求導(dǎo)，有1+2x+3x2+…+nxn

上式兩邊對x求導(dǎo)，有

再令x=1，可以得到

總之，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是微積分學(xué)的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想。在高中階段為學(xué)生開設(shè)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一章節(jié)具有深刻的意義。

參考文獻：

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（作者單位 廣東省深圳市坪山高級中學(xué)）