例談函數解析式的求法

函數的三要素中，函數的定義域是靈魂，函數的解析式是核心，因此，函數問題離不開函數的解析式。現就對在各種條件下的函數解析式問題進行系統歸納，并總結出各種題型的解法，這在高三復習教學中，對幫助學生突破難點，提高解題能力，是很有必要的，現舉例加以說明。

例1.已知函數f，求f（x）的解析式。

解法：用配湊法或換元法解。（1）用配湊法解的具體做法是：通過變形，將復合函數f[g（x）]的表達式湊成以g（x）為基準的表達式，得出對應關系，從而寫出f（x）的解析式。

例3.設二次函數y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6，求f（x）的解析式。

解法：用待定系數法解。其步驟是：（1）設函數；（2）列出關于待定系數的方程（組）；（3）解方程（組），求出待定系數；（4）答。

解得a=2，b=—4，c=6，故f（x）的解析式為f（x）=2x2—4x+6。

[注：還可以設f（x）=a（x—1）2+4（a>0）或f（x）=a（x—0）（x—2）+6解]

例4.若x1=—1，x2=2是函數f（x）=ax3+bx2—a2x（a>0）的兩個極值點，求f（x）的解析式。

解法：利用函數導數的知識與待定系數法相結合解。具體做法是：先求出函數導數，再把函數極值代入方程f′（x）=0中，求出待定系數，最后寫出f（x）的解析式。

解：∵f（x）=ax3+bx2—a2x

∴f′（x）=3ax2+2bx—a2

又∵x1=—1，x2=2是函數f（x）的兩個極值點，

∴f′（—1）=3a—2b—a2=0f′（2）=12a+4b—a2=0，解得a=6b=—9

故f（x）的解析式為f（x）=6x3—9x2—36x。

解法：利用數形結合思想與待定系數法相結合求解。

解：設f（x）=ax2+bx+c（a>0），

解方程組得a=—1，b=8，c=0，故f（x）的解析式為f（x）=—x2+8x。

綜上，求函數解析式的問題的題型很多，解法亦很多，為此，要根據實際選取不同的方法解題，經過求函數解析式問題的專題訓練，既能增強學生對函數相關概念的理解，同時又提高了學生分析和解決函數問題的能力。

（作者單位 貴州省道真縣道真中學）