反比例函數的類型和處理策略

反比例問題備受命題者的青睞，以反比例函數為框架綜合其他數學知識而成的綜合題屢見不鮮，本文以近年中考試題為例，談談反比例函數的主要類型和解題策略，供參考。

一、反比例函數的圖像和性質

關于反比例函數的圖象和性質問題，一般作為選擇題和填空題，考查學生對它們的理解和掌握情況，熟悉反比例函數的圖象和性質，不難解決這類問題。

例1.（2011年鹽城中考）對于反比例函數y，下列說法正確的是（ ）

A.圖象經過點（1，—1）

B.圖象位于第二、四象限

C.圖象是中心對稱圖形

D.當x>0時，y隨x的增大而增大

分析：把（1，—1）代入y中，左邊≠右邊，∴選項A錯誤，∵y中k=1>0，∴函數圖象的兩個分支位于第一、三象限，且兩個分支關于原點對稱，在每一象限內，y隨x的增大而減小，可知選項B、D是錯誤的，而選項C是正確的。

二、以反比例函數為框架的面積問題

求出雙曲線與其他圖象的交點，再利用面積公式求解是解決這類問題的常用思路。這類問題常與一次函數、二次函數結合形成綜合題，此時求雙曲線與直線或拋物線交點坐標是解題的切入點。

例2.（2011年成都中考）如圖，已知反比

Q（4，m）。

（1）求上述反比例函數和直線的函數

表達式；

（2）設該函數與x軸、y軸分別相交于

A、B兩點與反比例函數圖象的另一個交點為P，連接OP、OQ，求△OPQ的面積。

解析：（1）把點入反比例函數確定反比例函數的解析式為再把點Q（4，m）代入反比例函數的解析式得到Q的坐標，再代入直線y=—x+b，即可確定b的值。

（2）把反比例函數和直線的解析式聯立起來。解方程組得到P點的坐標；對于y=—x+5，令y=0，求出A點坐標，然后根據S△OPQ=S△OAP—S△OAQ進行計算即可。

三、反比例函數與一次函數綜合

處理這類問題一般使用待定系數法，將這類問題轉化成方程問題求解是常用方法，結合圖象有關性質，運用數形結合、分類等數學思想方法進行求解。

例3.（2011年安徽中考）如圖，函數y1=k1x+b的圖象與函數的圖像交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知A點坐標為（2，1），C點坐標為（0，3）。

（1）求函數y1的表達式和B點的坐標；

（2）觀察圖象，比較當x>0時，y1與y2的大小。

解析：本題綜合地考查了一次函數與反比例函數的相關知識。

（1）將A（2，1），C（0，3）代入y1=k1x+b易求此解析式；要求點B的坐標，應先把點A（2，1）代入y2求得此反比例函數解析式，然后再與一次函數聯立方程組即可；（2）直接從圖象上就可以看出y1與y2的大小，但要注意自變量x>0這一限制條件。

四、反比例函數與二次函數綜合

這類問題常涉及不等式與一元二次方程的有關知識，常利用數形結合和借助處理不等式問題的方法進行求解。

例4.（2011年無錫中考）如圖，拋物線y=x2+1與雙曲線y的交點A的橫坐標是1，則關于x的不等式x2+1<0的解集是

（ ）

A.x>1

B.x<—1

C.0

D.—1

五、反比例函數與平面幾何知識綜合

這類問題將反比例函數與三角形、特殊四邊形、圓等圖形綜合，并使圖形中的某些元素運動形成動態型綜合題。求解這類問題需要仔細分析題意，聯想圖形有關性質，運用數形結合、轉化、分類等數學思想方法進行求解。

例5.（2011年蘇州中考）如圖，已知點A的坐標為AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數y的圖象與線段OA、AB分別交于點C、D。若AB=3BD，以點C為圓心，CA的倍的長為半徑作圓，則該圓與x軸的位置關系是 （填“相離”，“相切”或“相交”）。