例談探索性問(wèn)題的解題策略

隨著以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育的深入發(fā)展，高考命題將更加關(guān)注探索性問(wèn)題.所謂探索性問(wèn)題，就是由給定的題設(shè)條件探求相應(yīng)的結(jié)論，或由給定的題斷追溯應(yīng)具備的條件，或變更題設(shè)、題斷的某個(gè)部分使命題也相應(yīng)變化等等，這一類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)之為探索性問(wèn)題.由于這類(lèi)題型有時(shí)沒(méi)有明確的結(jié)論，解題方向不明，自由度大，需要先通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析、比較、概括后方能得出結(jié)論，有時(shí)還需對(duì)所得出的結(jié)論予以證明.其難度大、要求高，是訓(xùn)練和考查學(xué)生的創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的好題型.

近幾年高考常見(jiàn)的探索性問(wèn)題，就其命題特點(diǎn)考慮，主要分為題設(shè)開(kāi)放型和結(jié)論開(kāi)放型兩種.近幾年的高考，在填空題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)探索性題型.下面，就具體實(shí)例探討有關(guān)探索性問(wèn)題的一些常規(guī)解題策略.

一、數(shù)形結(jié)合，探求結(jié)論

例1.已知函數(shù)y=f（x）同時(shí)滿足如下六個(gè)條件：（1）f（x+1）的定義域是[—3，1]；（2）f（x）是奇函數(shù)；（3）f（—1）=0；（4）在[—2，0）上，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）>0；（5）f（x）不是單調(diào)函數(shù).請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的一個(gè)圖象，并寫(xiě)出相應(yīng)于這個(gè)圖象的函數(shù)解析式.

分析：由（1）知，—3≤x≤1，∴—2≤x+1≤2，故f（x）的定義域是[—2，2].由（4）知，f（x）在[—2，0）上為增函數(shù).又由（2）（3）得，f（x）在（0，2]上也是增函數(shù)，且f（1）=0，f（0）=0，再由（5）可作出，函數(shù)y=f（x）的一個(gè)圖象如圖1，與之相應(yīng)的函數(shù)解析式為：

f（x）=x+1（—2≤x<0）0（x=0）x—1（0

評(píng)注：本題是以抽象函數(shù)為背景的函數(shù)問(wèn)題.涉及復(fù)合函數(shù)定義域、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其單調(diào)性、奇函數(shù)的圖象、函數(shù)的分段表示等眾多知識(shí).求解時(shí)需要我們從數(shù)和形兩個(gè)角度作出理性的分析和思考，完成文字語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)譯.本題極具開(kāi)放性，事實(shí)上，同時(shí)滿足上述六個(gè)條件的函數(shù)圖象是不唯一的.例如，圖2也符合要求，其解析式為：

f（x）=—x2+1（—2≤x<0）0（x=0）x2—1（0

二、建構(gòu)特例，探求結(jié)論

例2.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，對(duì)任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）f（n）.

（1）求f（0）.

（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性.

（3）設(shè)集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）

分析：在我們所學(xué)過(guò)的初等函數(shù)中有沒(méi)有符合題設(shè)條件的函數(shù)？由條件，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則，指數(shù)函數(shù)f（x）=ax符合，又由x>0時(shí)，f（x）>1，知a>1.至此，問(wèn)題（1）（2）的答案可大膽猜測(cè)了：

（1）f（0）=1；（2）f（x）在R上是增函數(shù).

下面帶著結(jié)論去探求解答，解題方向明確.

解：（1）令m=n=0，f（0）=f（0）·f（0）？圯f（0）=0或f（0）=1

若f（0）=0，則對(duì)任意的m都有f（m）=f（m+0）=f（m）·f（0）=0，這與已知矛盾，故f（0）≠0，所以f（0）=1.

（2）設(shè)—∞

∵ x2—x1>0∴f（x2—x1）>1，下面研究f（x1）的符號(hào).

當(dāng)x1≥0時(shí)，f（x1）≥1>0

當(dāng)x1<0時(shí)，—x1>0，f（—x1）>1，f（0）=f（x1—x1）=f（x1）·f（—x1）=1，

∴ f（x1）>0

綜上所述，x1∈R時(shí)，都有f（x1）>0

由f（x2）=f[（x2—x1）+x1]=f（x2—x1）·f（x1），得f（x2）>f（x1）

因此f（x）在R上是增函數(shù).

（3）由集合A得f（x2+y2）

由幾何意義，得d≥1？圯a2+b2≤c

評(píng)注：本題思考入口是構(gòu)造抽象函數(shù)的原型，作出目標(biāo)猜測(cè)，從而使操作有的放矢，否則第（1）問(wèn)很可能走入誤區(qū)f（0）=0或f（0）=1，這種特殊化思想方法是解答探索性問(wèn)題最常用的思維方法.

三、試驗(yàn)歸納，探求結(jié)論

例3.設(shè)an是集合2t+2s|0≤s

（1）寫(xiě)出這個(gè)三角形數(shù)表中的第四行、

第五行各數(shù).

（2）求a100.

分析：對(duì)于（1），按照集合中元素的特征寫(xiě)出三角形數(shù)表中前三行各數(shù)，并觀察指數(shù)規(guī)律，即可寫(xiě)出第四行、第五行各數(shù).對(duì)于（2），關(guān)鍵是判斷出a100是這個(gè)三角形數(shù)表中第幾行第幾個(gè)數(shù)，進(jìn)而便可用（1）中所得的指數(shù)規(guī)律求出a100了.

解：（1）將前三行各數(shù)寫(xiě)成2t+2s的形式：

第1行：3=21+20

第2行：5=22+20，6=22+21

第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22

由此歸納：

第4行：24+20=17，24+21=18，24+22=20，24+23=24

第5行：25+20=33，25+21=34，25+22=36，25+23=40，25+24=48

即第四行各數(shù)依次是：17，18，20，24.

第五行各數(shù)依次是：33，34，36，40，48.

（3）由于每行上數(shù)的個(gè)數(shù)與行數(shù)相同，即第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)……故前13行共有1+2+3+……+13=91個(gè)數(shù).因此，a100應(yīng)是第14行中第9個(gè)數(shù).所以a100=214+28=16640。

評(píng)注：本題的解法策略為，通過(guò)試驗(yàn)、歸納，發(fā)現(xiàn)題中內(nèi)在的規(guī)律.這種從特殊到一般的試驗(yàn)、歸納思想也是解答探索性問(wèn)題最常用的思維方法.

四、先猜后證，探求條件

例4.如圖3，正方體ABCD—A′B′C′D′中，

E為CC′上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使

面A′BD⊥面BDE？請(qǐng)給出證明.

分析：就本題而言，如果我們從結(jié)論出發(fā)，去探求的值，無(wú)疑是可行的，但推理和運(yùn)算較麻煩.如果我們先猜后證，將事半功倍！由于面A′BD⊥面BDE的特殊性，點(diǎn)E是否在某個(gè)特殊位置上，比如說(shuō)中點(diǎn)？由此嘗試證明面A′BD⊥面BDE，成功！何其簡(jiǎn)單.

解：設(shè)E是CC′的中點(diǎn)，又設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)OE，OA′，因?yàn)镋D=EB，OD=OB，所以EO⊥BD在長(zhǎng)方形A′ACC′中，由平面幾何得OE⊥A′O，所以EO⊥面A′BD，又EO■面BDE，所以面A′BD⊥面BDE.

評(píng)注：本題的解答是要找出使結(jié)論成立的充分條件，由題設(shè)條件預(yù)見(jiàn)點(diǎn)E在特殊的中點(diǎn)上，從而問(wèn)題也就變得簡(jiǎn)單多了.可見(jiàn)教會(huì)學(xué)生大膽猜想合情推理，有時(shí)解題將會(huì)出奇制勝.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)不失時(shí)機(jī)地變更某些例題、習(xí)題之結(jié)構(gòu)，使之成為探索性問(wèn)題，并啟發(fā)學(xué)生選用合理的解題策略，而獲得問(wèn)題的求解.這樣可以大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪他們的智慧，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的目的.

（作者單位 江蘇省昆山市中學(xué)）